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Natürlich sind auch solche Komplexe denkbar, welche zugleich tetragonaloide und 

 hexagonaloide sind. Es sind z. B. der Komplex [1 • 3], welcher als hexagonal-isotroper, 

 und [1-1], welcher als kubischer bezeichnet wird. Für den ersten ist dies direkt 

 ersichtlich. Was den zweiten anbetrifft, so wird dies klar sein, wenn man berücksichtigt, 

 daß auch der dritte zu beiden Hauptstrahlen 1 und 1 senkrechte Hauptstrahl ebenfalls den 

 Parameter 1 besitzt, also den beiden anderen gleich ist. In einem solchen sind also drei 

 Bissektrissenebenen vorhanden BB', welche Symmetrieebene sind und sich unter gleichen 

 Winkeln in dem Strahle B schneiden. Folglich ist B sechszählige Symmetrieachse. 



Der Komplex [3 • 3] ist mit dem Komjulex [1 • 3] identisch, da der dritte Hauptstrabi 

 denselben Parameter 1 besitzt. 



Nun ist aber zu beweisen, daß wirklich Komplexe vorhanden sind, welchen die Teil- 

 komj)lexe 1 respektive 3 fehlen, welche also weder tetragonaloide noch hexagonaloide sind. 



Betrachten wir zum Beispiel den Komplex [3 • 5], welcher augenscheinlich ein hexa- 

 gonaloider ist. Wir haben einen solchen ausgewählt, da derselbe sicher von den Komplexen 

 [1 • 1] resp. [1 • 3] verschieden ist, weil weder in dem ersten, noch in dem zweiten der 

 Strahl 5 (das heißt mit dem Parameter 5) in der Zone des Strahles 3 auftritt. 



Gemäß der Formel 4) haben wir für diesen Komplex: 



Pp- = 3pi -f- 5jpl + lbpl. 



Wäre ein Komplex ein tetragonaloider (wobei also P=l als möglicher Wert erscheinen 

 würde), so hätten wir gehabt: 



p~ = 3 pl + 5pl+ 15 pl respektive p" + 2p\ = 5 {p\ -\-p\ + 3pl). 



Die Zahl p~ -\- 2p\ muß also durch 5 teilbar sein können; mit anderen Worten, unter 

 den Parametern des ebenen Komplexes {12} muß auch 5 vorhanden sein. 



Wie in dem I. Teile (S. 35) bewiesen ist, ist dies nicht der Fall. Also es gibt isotrope 

 Komplexe, welche keine tetragonaloide sind. Dieser Konrplex ist in der oberen 

 Hälfte der bei gegebenen Tabelle reproduziert worden. 



Betrachten wir weiter den Komplex [1 • 7]. 



Derselbe ist offenbar ein tetragonaloider. Für denselben haben wir: 



Pf = PI+ 7pl+7pl 

 Soll in demselben der Parameter 3 auftreten, so hätten wir: 



3 p- + 6 pl = 7 (pl + p\ + pl) respektive 3 (p~ + 2 pl) = 7 {p\ + p\ + pf) . 



Diese Gleichheit ist aber eine unmögliche, da der Komplex {1-2} den Parameter 7 

 nicht besitzt. Es gibt somit isotrope Komplexe, welche keine hexagonaloiden sind. 



Dieser Komplex ist in der unteren Hälfte der beigegebenen Tabelle reproduziert. 



Überhaupt können wir über jeden gegebenen isotropen Komplex entscheiden, ob in 

 demselben ein Teilkomplex mit bestimmten Parameter P auftritt oder nicht. 



In der Tat können wir die Gleichung 4) stets in der Form 



Pf + (P ä - PJpi = P 2 (pl + £ + P, pi) 



darstellen, und in dieser Form reduziert sich die aufgestellte Aufgabe auf die Auflösung 

 der Aufgabe, ob in dem Zahlenkomplexe {P • (P 2 — PJ} die Zahl P 2 auftritt oder nicht. 



