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In der Zone 3 ist also die Zahlenreihe {1 -3} nur in dem hexagonalen Komplex 

 repräsentiert und nicht in dem kubischen, wo dieselbe durch {2 • 6} = 2 {1 • 3} repräsentiert 

 ist, auch nicht in sämtlichen anderen Komplexen, wo die betreffende Reihe 7c {1-3}, wo 7c 

 für den betreffenden hexagonaloiden Komplex charakteristisch ist; würde in zwei Kom- 

 plexen dieser Faktor gemeinschaftlich, so wären die Komplexe selbst identisch. 



Ebenso ist im kubischen Komplex die Zone 1 durch den Zahlenkomplex {1-1} 

 repräsentiert, während es in dem hexagonalen die Zahlenreihe 3 {1 • 1} ist. 



Wenn wir aber für einen Parameter eine Zahl, welche keine Primzahl ist, auswählen, 

 zum Beispiel 6, so kann ebenfalls für jeden gegebenen Komplex entschieden werden, ob die 

 betreffende Zone durch den Zahlenkomplex {1 • 6} oder {2 • 3} oder endlich durch dieselben 

 Zahlen mit bestimmten Faktoren vertreten sind. Die erste Zahlenreihe gehört dem hexa- 

 gonalen Komplex an. Zum Beispiel der Zone [2121] gehören die Fläche (0101) (Parameter 1) 

 und die senkrechte Fläche 2121 (Parameter 6) an, während im kubischen Komplex der Zone 

 [211] die Fläche 110 (Parameter 2) und die senkrechte Fläche (111) (Parameter 3), oder 

 der Zone [552] (ebenfalls Parameter 6) die Fläche (110) (Parameter 2) und die senkrechte 

 Fläche (115) (Parameter 3) angehören. 



Man kann sogar sagen, daß in den Zonen, welche den Parameter 1 besitzen, die 

 Anwendung des Satzes unbestimmt ist, da es jedenfalls solche Parameter in derselben Zone 

 eine unendliche Anzahl gibt. 



Trotzdem kann der Satz in Anwendung gebracht werden. Es sei ein Komplex 

 gegeben mit den senkrechten Vektoren P v P 2 , P 1 P . Durch diese drei Vektoren werden 

 drei Zonen bestimmt, und eine beliebige andere Zone schneidet sich mit denselben in drei 

 Vektoren. Es seien dieselben a, b, c. Nun nehmen wir den Vektor a als den Einheits- 

 vektor 1 : dann werden die beiden anderen a b und a c und das Produkt der beiden a % b c 

 respektive b c. Es bleibt noch übrig, diesen Vektor mit a zu multiplizieren, und wir erhalten als 

 Produkt von b und c den Vektor ab c; derselbe bildet mit c denselben Winkel, wie a mit b. 



Wenn überhaupt in einer Zone drei Vektoren a, b und c bekannt sind, so muß sich 

 in derselben als Produktvektor ab c befinden. Der Satz läßt sich in Produkte von 5,7... 

 und überhaupt von einer ungeraden Anzahl Vektoren verallgemeinern. 



Andererseits lassen sich in jeder Zone Vektoren entwickeln aus der Zahlenreihe 

 7c{l-P}, wenn P der Parameter der Zone und 7c die charakteristische Zahl ist. Diese 

 Zahl ist aber keine streng bestimmte. Für eine solche kann eine beliebige Zahl der 

 Vektorenzone angenommen werden. 



Da die Zone P die drei Grundzonen {a ■ b}, {b ■ c}, {c ■ a) in bestimmten Vektoren 

 schneidet, so kann ein beliebiger Parameter dieser drei Schnittebenen für 7c angenommen 

 werden. Das Resultat der Entwicklung der Zone bleibt davon unabhängig, da der Zahlen- 

 komplex {7c • 7c P} durch Multiplikation mit einer beliebigen ihm zugehörigen Zahl stets 

 einen und denselben Zahlenkomplex {1 ■ P} gibt. 



Was aber den Additionssatz der Vektoren anbetrifft, so ist derselbe in vollem Grade 

 anwendbar, da derselbe eigentlich mit demjenigen elementaren Satze übereinstimmt, welcher 

 als der Satz der drei Perpendikeln bekannt ist. 



Die drei ganzen Zahlen _p, p 2 p 3 in der Formel 4) werden als Indizes eines Strahles 

 bezeichnet, und die Größen p 1 YP V P^\^P^ Pb V-Ps sm< ^ die Komponenten des Vektors. Jede 

 dieser Komponenten kann als die Summe p 1 VP y = VPj + VPj + ■ • ■ betrachtet werden ; 



