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der Stimulierung kommen dabei nur die Indizes zu; der Faktor "j/P, bleibt dabei gemein- 

 schaftlich. Wenn wir drei Vektoren a, b, c (Fig. 19) mit den respektiven Indizes a, a 2 a 3 , 

 b, b, 6 3 . Cj c ä c 3 so auswählen, daß ein Strahl in der Ebene b c zwischen 

 b und c die Indizes (b x + Cj & ä + c 2 6 3 + c 3 ) und ein Strahl in der 

 Ebene c a zwischen c und a die Indizes (Cj + fl, c 2 + a 2 c s -f- a 3 ) erhält 1 ), 

 so ist leicht der Beweis zu erbringen, daß der Schnittstrahl von a und 

 (ö + c) einerseits und b und (c -f- «) andererseits die Indizes (a -(- b j- c), 

 ebenso wie der Schnittstrahl a b und c • (a -\- b -f- c) die Indizes (a -j- &) erhält. a ' 



Xehnien wir an, daß dies nicht der Fall ist; jedenfalls muß aber 

 derselbe die Form (a-\-c)m-\-kb und zugleich die Form (b-\- c)n-\-la 

 haben, also (a + c)m -\- Jcb = (b -\- c)n -\- 1 a respektive a (m — I) \-b(k — n)-\- c(m — n) = 0. 

 Diese Formel enthält in sich das System von sich selbst widersprechenden Gleichungen 



«, (m — I) -f- 5, (Je — n) -\- c, (m — n) = 



a 2 (m — + ^2 (& — n ) + c s ( m — n ) = 

 a 3 (m — 1) -\- b 3 (Je — n) -\- c 3 (m — n) = 

 respektive 



(m — I) : (Ä — n) : (um — n) = (6 c) 3 : (c a) 3 : (a &) 3 = (b c\ : (c a\ : (a b\ = (b c\ : (ca\ : (a b\. 



Diesen Gleichungen werden nur die Bedingungen (m — 1) = 0, (Je — w) = 0, (m — w)=0 

 genüge leisten, also J: = 1 = m = n. In den Indizes werden aber die gemeinschaftlichen 

 Faktoren beseitigt, woraus folgt, daß J; = l = m = n = l ist, was zu beweisen war. 



Aus diesem Satz folgt aber weiter, daß wir alle beliebigen Indizes eines Strahles 

 durch sukzessives Addieren reproduzieren können, indem jedes aus drei Strahlen bestimmte 

 sphärische Dreieck sich in sechs weitere zerlegt, welche durch die neu erhaltenen 

 Zwischenstrahlen bedingt werden. 



Daß dabei die Dreiecke stets die für die Anwendung der Additionsregel nötige Be- 

 dingung erfüllen, ist aus den Identitäten 



1 = 



«1 h l C ! 





«! + &, + c, &, + c, c 



«2 h C 2 



= 



«2 +h+ C 2 h 2 + C 2 C 



a 3 b 3 c 3 





a 3 4-J 3 +c 3 b 3 + c 3 c 



«1 + c, a, -f &, + c, c, | 



«2 + C 2 a 2 + h + C 2 C 2 I = 

 «3 + C 3 ü 3 + & 3 + C 3 C 3 ! 



ersichtlich, indem die erste als die von vornherein für das Dreieck (a b c) geltende ange- 

 nommen wird, während die zweite auf Dreieck (a -f- b -\- c b -f- c c), die dritte auf Dreieck 

 (a -f- c a + b -f- c c) . . . Bezug hat. 



Jedesmal aber, wenn wir von den Zahlen, welche die Indizes derjenigen Strahlen sind, 

 welche die Scheitelpunkte eines Dreiecks bestimmen, zu neuen übergehen, welche die Zerlegung 

 dieses Dreiecks in sechs weitere bedingen, wird die Periode der Komplexentwicklung um 

 eins gesteigert. Dementsprechend können wir jede besondere Gruppe der Indizes einer 



') Wie in der zonalen Kristallographie bewiesen wird, ist dazu nötig, daß die Determinante 



gleich 1 gewesen wäre. 



Abh. d. II. Kl. d. K. Ak. d.Wiss. XXIII. Bd. I. Abt. 



«1 



h 



Cl 



«2 



62 



C 2 



«3 



^3 



C 3 



