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bestimmten Periode zuordnen; und nun kann der Satz bewiesen werden, daß durch Er- 

 setzung der Indizes (p t p. 2 p> 3 ), wo p l > p 2 > p 3 , durch (p t — p 2 , p 2 — p s , p 3 ) die Periode um 

 eins erniedrigt und durch Ersetzung durch (p 1 -f- p 2 + p v p 2 -j- p 3 , p 3 ) um eins gesteigert wird. 

 Aus den im I. Teile entwickelten Gründen kanu man schließen, daß jeder gegebene 

 Strahl (p i p 2 p 3 ) als ein Resultat bestimmter Additionsoperationen vorkommt. Dieses Resultat 



respektive diese Operationsfolge wird durch den Ausdruck 

 (A AA) = Vi (100) -HA (010) + ft (001) eindeutig bedingt 

 und kann sogar durch ein bestimmtes spezielles Symbol ersetzt 

 werden, wie dies wirklich in der zonalen Kristallographie durch 

 die zonalen Symbole geschehen ist. Das Dreieck (100), (010), 

 (001) (Fig. 20) läßt sich aber in sechs Teildreiecke zer- 

 legen, welche respektive durch a, a, b, ß, c, y bezeichnet 

 werden. Genau dieselbe Operationsfolge kann in jedem dieser 

 Teildreiecke geschehen, und das Resultat wird davon ab- 

 häno-en, in welchem davon es geschehen wird. 

 Wir erhalten : 



in dem Dreiecke a jp 1 (100)+A(110)+ft(lll)=(p 1 +A+A)(100) + (jp l + A )C0i0) + A(0ei) 

 . „ . a A (010)+ A (110)+i» J (lll)=(p 4 +jia(100) + Cp 1 +A-fA)(Q10)+A(001) 



„ „ , &^(oioHa(oii)+a(iii)=a(ioo)+(^+a+a)(oio)+(^+ä)(ooi) 



„ , , /Jj> 1 (001) + A (011)+ A (111)=a(100J + 0» 1 +a)(010)4 : (i» 1 + A +a)(001) 



, , „ ci» I (001)+l» 1 (101)+j> 4 (lll)=(p 1 +jp 1! )(100)+ A (010) + (p 1 + A + A )(OOlj 



, . . ;'^(ioo)+ Ä (ioi)+ A (iii)=(^+ Ä + Ä )(ioo)+ A (oio) + o 32 + A )(ooi). 



Man kann sagen, daß in allen Fällen die Indizes dieselben sind, aber in verschieden- 

 artiger Permutation und zwar: 



in dem Dreiecke a gilt (g, q 2 q 3 ) und dabei ist q 1 > q 2 > q 3 



a , (q* <Zi &) 

 » - - & » (?s2i2s) 



- - - ß . (? a ?i2i) 



c , fe&ffi) 

 7 » (2i2 s 3ä)- 

 Natürlich ergibt auch bei weiterer Entwicklung des Komplexes im Bereiche eines jeden 

 von diesen Teildreiecken die Anwendung derselben Operationsfolge dasselbe Resultat, das heißt 

 gleiche Indizes mit verschiedener Permutation. 



Die Permutationen spielen also in Fragen dieser Art keine Rolle; sie weisen nur auf 

 den Dreiecksbereich hin, in welchem die betreffenden Operationen geschehen. Wir können 

 gegebene Indizes in derjenigen Permutation annehmen, für welche die Bedingung^, > p 2 > p s 

 gültig ist. Dies würde nur bedeuten, daß wir uns die betreffende Operation innerhalb des 

 Dreiecks a vorstellen. 



Wie wir gesehen haben, hat dieselbe Operation p 1 (100) + p 2 (010) +. i? 3 (001), in dem 

 Bereiche des Dreiecks a ausgeführt, zu einer anderen Operation geführt, da 



p, (100) + A (110) + Ä (Hl) = (A + A + A) (100) + (p.; + P 3 ) (010) + A (001 ). 



