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Diese Operation ist also in Bezug auf (100), (010), (001) als eine kompliziertere zu 

 betrachten, als in Bezug auf (100), (110), (111). Man kann dieselbe also auf eine um 

 eins höhere Periode beziehen. Und in der Tat haben wir (110)= 1 (100) -f- 1(010) + 0(001) 

 und (111) =1(100) + 1(010)+ 1(001), das heißt (110) und (111) sind »mit einer kom- 

 plementären Additionsoperation verbunden. 



Falls man also für irgendwelche (Je — l) te Periode annimmt, daß der Strahl dieser 

 Periode [(pj — p a ) (p a — a)a] einer um eins niedrigeren Periode angehört, als der Strahl 

 [AAaI ^ :ter Periode, so gilt derselbe Ausdruck für die nächstfolgende Periode, da 



(A-A)(W0) ft(ioo) 



(A— A)(H0) , A(H0) 



A (Hl) A(1H) 



A A A ( A + A + A) ( A + A) A 



das heißt: 



A (100) + A (110) + p 3 (111) = d», + A + p 3 ) (100) -f ( A + Pa ) (010) + a (001). 



Auf diese Weise läßt sich für jede gegebenen Indizes in rekursivem Wege entscheiden, 

 zu welcher Periode dieselben Bezug haben. Zum Beispiel (752) muß der IV. Periode 

 angehören, da 



(7 - 5, 5 - 2, 2) = (2, 3, 2) 



(3-2, 2-2, 2) = (1,0, 2) 

 (2-1, 1-0, 0) = (1, 1, 0) 



und diese Indizes beziehen sich auf die I. Periode. 



Wie erwähnt, pflegt man in dem Gebiete der zonalen Kristallographie sämtliche 

 Operationen dieser Art durch spezielle zonale Symbole zu bezeichnen und zwar aus folgen- 

 dem Grunde. In jedem Teildreieck JeJm höherer Perioden läßt sich die Reihenordnung der 

 Indizes unterscheiden, indem man als den ersten Je denjenigen annimmt, welcher der Strahl 

 einer niedrigeren Periode ist, und als den zweiten l denjenigen, welcher mit Je einer Strahlen- 

 ebene niedrigerer Periode angehört. 



Xach genügender Zerlegung der Sphäre in Teildreiecke höherer Perioden gelangt man 

 endlich dazu, daß der gegebene Strahl entweder die Lage Je + l. oder l + m, oder in + Je, 

 oder endlich Je + / + m annimmt. Diese Fälle werden respektive durch A, J3, C und 31 

 bezeichnet. 



Wenn der Strahl (p i p 2 P s ) der Jc te " Periode angehört, so befindet sich derselbe innerhalb 

 eines bestimmten Teildreiecks der Je — l ten Periode, und dieses Teildreieck nimmt inner- 

 halb des Teildreiecks der Je — 2 ten Periode eine der Lagen a, a, b, ß, c, y ein. Dieses Teil- 

 dreieck seinerseits nimmt innerhalb des bestimmten Teildreiecks der Je — 3 ton Periode eben- 

 falls eine durch diese Buchstaben charakterisierte Lage ein und so fort, bis wir endlich zum 

 Teildreieck der II. Periode gelangen. Der Strahl kann aber nicht nur innerhalb dieses 

 Dreiecks liegen, sondern sich auch auf einer seiner Seiten befinden. 



Wenn der Strahl auf einer Seite mit A sich befindet, so wird die Frage über die 

 Zugehörigkeit zu einem Dreieck a, a, b, ß, c, y unzweideutig beantwortet; wenn aber der 

 Strahl auf den mit JB oder C enthaltenden Seiten desselben liegt, so gehört derselbe 

 zugleich entweder a a, a y, oder b ß, b a, oder endlich c y, c ß. Dementsprechend wird 



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