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Betrachten wir zwei Strahlen p mit den Indizes (p x p 2 p 3 ) und q mit den Indizes 

 {q t q 3 q 3 ): ziehen wir die zum ersten senkrechte Ebene, welche durch den Endpunkt der 

 demselben zugehörenden Strecke (Pj p\ -f- P ä p'\ -\- P 1 P 2 pf) hindurchgeht. Dann bleibt nur 

 die Streckengröße auf dem Strahle q aufzufinden, welche durch diese Ebene bedingt wird. 



Die Gleichung der betreifenden Ebene ist 



des Strahles p 

 und des Strahles q 



x, VP, p, + x 2 VP 2 p. 2 + x, VP, P 2 p 3 =l 



vPtPi yp.Pi vpXps 



1/P ]fil VP 2 q 2 VP.P.qs 

 Daraus die Koordinaten des Endpunktes von p 



*1 



Vp iPi 

 p 



X 2 



Vp*p* 

 p 



X., 



p 



d 



des von q 











x i 



VP,q, 



Qp 



Also 



x 2 



VP.q, 

 Qp 



#3 



Q„ 



und 



wo P=P 1 ^ + P 2 i>i+P 1 P 2 ^ 



wo Q p = P, p, q x + P 2 p t q 2 -f P, P 2 p 3 q 3 . 

 P 1 



[X[ -\- XI -\- X 3 )p = pi == p 



was zu beweisen war, da die letzte Zahl parametrisch gleich ist mit Q. 



Aus allem Vorhergehenden ergibt sich, daß eine unendlich große Anzahl isotroper 

 Komplexe existiert, aber im Allgemeinen ihre vollständigen Indizes irrational sind, und zwar 

 quadratische Wurzeln von ganzen Zahlen enthalten. Unter vollständigen Indizes werden 

 hier die Produkte p 1 VP v V- 2 V P- 2 , p 3 VP 1 P 2 verstanden. 1 ) 



Wesentlich erscheint also die Frage, ob auch solche isotrope Komplexe vorhanden 

 sind, deren vollständige Indizes rational sind. 



Ist dies der Fall, so müssen drei Strahlen des Dreiecks der I. Periode (Grundstrahlen) 

 gleichen Parameter besitzen, welcher als gemeinschaftlicher Faktor von selbst verschwindet. 

 Diese Verschwindung findet aber für sämtliche höhere Perioden der Komplexentwicklung 

 statt, da dieselbe stets zu Strahlen führt, deren Indizes durch einfache Summierung der 

 Indizes der dadurch bestimmten Strahlen sich einhalten lassen: also in sämtlichen Strahlen 



') Von einem gewissen Standpunkte aus kann dieser Satz als selbstverständlich gelten. In der Tat ist 



Q k 2 = — =— [a — Winkel zwischen p und q) = P (1 + t 2 a) = P ( 1 -\ - 1 ) , wenn durch B der Para- 



cos 1 * a \ Vi / 



meter des zur Ebene p q senkrechten Strahles bezeichnet wird. Also Q k' 2 = P(p\ -\-Bp\). Dieser Satz 



behauptet also, daß der Parameter Q zur Zone P{l-B} gehört, und dies ist selbstverständlich. 



