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des Komplexes verschwinden die irrationalen Faktoren der vollständigen Indizes als die 

 gemeinschaftlichen. 



Es braucht nicht erwähnt zu werden, daß hierzu der kubische Komplex gehört, da 

 demselben als Grrundpararueter die Zahlen yl eigen sind, welche von selbst rational sind. 

 Überhaupt können solche Komplexe nur unter denjenigen trigonalen mesosphärischen Iso- 

 edern sein, welchen die gleichen Parameter sämtlicher den Mittelpunkt (der ein- und um- 

 geschriebenen Sphäre) mit den Eckpunkten verbindenden Strahlen zukommen. 



Die Frage läßt sich somit durch einfache Zusammenstellung sämtlicher hierzu gehöriger 

 Figuren lösen. Von vornherein sind aber alle diejenigen ausgeschlossen, welchen fünf-, 

 sieben- und mehrzählige Symmetrieachsen eigen sind. Mit diesem Ausschluß bleiben nur 

 folgende zur Berücksichtigung : J ) 



1. Mesosphärisches Hexakisoktaeder. Dieser Fall ist ausgeschlossen, da den betreffen- 

 den Strahlen die Parameter 1, 2 und 3 zukommen. 



2. Die pyramidalen Würfel. Dieser Fall ist ausgeschlossen, da den betreffenden 

 Strahlen die Parameter 1, 3 und 3 zukommen. 



3. Oktaeder. Den Strahlen kommen die Parameter 1. 1 und 1 zu. Diese Figur ist 

 aber die Grundfigur für den kubischen Komplex. 



4. Tetraeder. Den Strahlen kommen die Parameter 3, 3 und 3 zu. Der betreffende 

 Komplex ist aber mit dem kubischen identisch. 



5. Trigonale Bipyramide. Den Strahlen dieses mesosphärischen Isoeders kommen die 

 Parameter 3, 3 und 1 zu. Dieser Komplex [3-3] = [1 • 3] ist also derjenige, welcher als 

 hexagonal-isotrop bezeichnet wird. 



6. Tetragonale Bipyramide. Der mesosphärische Vertreter dieser Reihe ist aber das 

 reguläre Oktaeder, welcher, wie erwähnt, den kubischen Komplex bedingt. 



7. Hexagonale Bipyramide. Den Strahlen dieses mesosphärischen Isoeders kommen die 

 Parameter 3, 3 und 1 zu. Der Komplex ist also mit demjenigen der trigonalen Bipyramide 

 identisch, das heißt hexagonal-isotrop. 



In anderen mesosphärischen Isoedern, wie in Skalenoedern, Sphenoedern, sind nicht 

 alle zentralen durch die Flächenteile hindurchgehenden Ebenen Symmetrieebenen und die 

 von zwei solchen Ebenen gebildeten Winkeln keine rationalen. 



Nun wollen wir zeigen, wie sich die vollständigen 

 Indizes des hexagonal-isotropen Komplexes rational ge- 

 stalten lassen. Auf drei senkrechten Strahlen dieses 

 Komplexes hat man die Parameter 1, 3, 3 anzunehmen. 

 Es seien diese Strahlen A. OB und der zu beiden senk- 

 rechte Strahl (Fig. 21). Nachdem der Komplex mit irratio- 

 nalen vollständigen Indizes entwickelt worden ist, soll der 

 erste Index durch einen anderen ersetzt werden, welcher 

 sich auf einen Strahl mit dem Parameter 3 bezieht. 

 Pia-. 21. Dieser Strahl ist aber der Strahl C\ welcher mit A 



') Bei dieser Zusammenstellung folgen wir dem Werke des Verfassers „Über die mesosphärisckeii 

 Polyeder", wo die vollständige Ableitung derselben ausgeführt wurde (in Memoires de l'Akad. J. des 

 Sciences de St. Petersbourg, XIV. 1fr. 1). 



