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den Winkel 30° bildet. Es ist ganz augenscheinlich, daß nur der auf diesen Strahl 

 sich beziehende Index zu berechnen ist, während die beiden anderen unverändert 

 bleiben. 



Wenn wir also eine beliebige Ebene des Komplexes ziehen würden, welche die Ebene 

 des Strahles OA und B in der Geraden ach schneidet, so bleibt nur die Strecke Oo 

 in der Streekengröße a auszudrücken, da diese Größen den betreffenden Indizes umge- 



kehrt proportional sind. Während A = 1, OB 



1 



C — —==, nehmen wir 0« = - und 

 1/3 m 



Ob = 



n] 3 



Die Strecke Oc läßt sich aus dem Dreieck Oac berechnen, wo Oa und zwei an- 

 liegende Winkel bekannt sind, da tang a = 



K8-n 



Nun ist aus der elementaren Trigono- 



metrie bekannt, daß: 



c = x = 



sin a 



Daraus läßt sich berechnen x 



1_ 



m sin (Oc a) 



1 2 



= m 



sin a 



sin (150 — er)" 



|/3 m ■+ n 



Schreiben wir als ersten Index denjenigen, welcher sich auf den senkrechten, als zweiten 

 denjenigen, welcher sich auf den Strahl Ob und als dritten denjenigen, welcher sich auf den 

 Strahl Oa bezieht, so erhalten wir eine Ebene, für welche die bezüglichen Achsenschnittstrecken 



-^. — , — , die früheren irrationalen Indizes Iv'i, mV3, n und die neueren rationalen 

 / m n 



respektive iV'Z, mYd, — - — ]/3 oder l, m, — - — sind. 



Man ersieht daraus, daß die alten und neuen Indizes allein in derjenigen Zone unver- 

 ändert bleiben, für welche m = n. 



Berücksichtigt man noch, daß den beiden Strahlen OB und OC noch ein dritter OD 

 gleich ist, welcher mit den beiden durch eine sechszählige vertikale Symmetrieachse ver- 

 bunden ist, und daß für denselben die von derselben Ebene bedingte Strecke gleich 



2 



— r= ist, so erhält man als vollständiges 



V3 (n — m) 



Symbol ein viergliedriges 1 1, m, — jj — , — — 



In der Figur 22 sind die unvollständigen 

 irrationalen Indizes mit den respektiven vollstän- 

 digen rationalen zusammengestellt. Die irratio- 

 nale Komplexentwicklung ist durch punktierte 

 Linien und die neue, rationale, durch ununter- 

 brochene Linien angedeutet. 



Obgleich für sämtliche Strahlen die beiden 

 ersten Indizes un verändert (proportional)bleiben, 

 so ändert sich doch der Entwicklungsgang vom 



013 



(011Z) 



13 1 011Z) 



011(0101) 



010(0211) 



001 

 (0011) 



011(0110) 



