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Unter allen isotropen Komplexen zeichnen sich also zwei besonders, der kubische 

 und der hexagonale, dadurch aus, daß ihnen trigonale mesosphärische Isoeder — das 

 Oktaeder und die hexagonale Bipyramide — zu Grunde liegen, deren Achsen wirkliche 

 Symmetrieachsen sind und zugleich gleiche Parameter besitzen — 1 für den kubischen 

 und 3 für den hexagonalen Komplex — und daß infolgedessen ihre sämtliche Strahlen durch 

 vollständige rationale Indizes sich ausdrücken lassen. 



Die übrigen trigonalen mesosphärischen Isoeder mit den Achsen, welche gleiche 

 Parameter besitzen, können nur Polyeder von unendlich hohem Grade sein. 



Man hätte sagen können, daß nur diesen beiden Komplexen reale Bedeutung zukommen 

 kann, weil reale Objekte von unendlich hohem Grade nicht gut denkbar sind. Und in der 

 Tat hat die zonale Kristallographie den erfahrungsmäßigen Beweis erbracht, daß in der 

 Xatur. in dem Reiche der Kristalle, nur diese beiden isotropen Komplexe vertreten sind 

 und zugleich als typische Vertreter der unendlich veränderlichen Objekte vorkommen, so 

 daß jeder natürliche Kristall entweder als nach bestimmten Gesetzen deformierter kubischer 

 oder hexagonaler betrachtet werden kann. Demgemäß wurde in der zonalen Kristallographie 

 die Einteilung sämtlicher Kristalle in zwei Typen — den kubischen und den hypohexa- 

 gonalen — konstatiert. 



Jetzt können wir die Gesamtheit derjenigen Parameter auffinden, welche diesen beiden 

 Komplexen zukommen. 



Es läßt sich der Beweis erbringen, daß in dem kubischen Konrplex die Zahlen der 

 Form 8 n — 1 und in dem hexagonalen Komplex die Zahlen von der Form 2 -\- 3 n als 

 Parameter nicht vorkommen. 



Zuerst ist der Hilfssatz zu beweisen, daß die Zahl a 1 -\- 1 nicht durch 3 teilbar 

 sein kann. 



Wäre dies der Fall gewesen, so hätte a nicht durch 3 teilbar sein können, also 

 entweder nur die Zahl 3c-f- 1 oder 3 c — 1. Bei der ersten Annahme hätten wir gehabt, 

 daß die Zahl (3 c -\- lf-\- 1 = 3 (3 c 4 + 2 c) -4- 2, bei der zweiten Annahme, daß die Zahl 

 (3c — -l) 4 -f- 1 = 3(3c 4 — 2c) + 2 durch 3 teilbare Zahlen sind, was aber unmöglich ist. 



Wie wir im I. Teile (S. 34) gesehen haben, sind sämtliche Zahlen des Komplexes {1,1} 

 Produkte von der Form (4a t -4- 1) (4 a 2 -(- 1) (4a 3 -4- 1) . . . oder noch mit dem Faktor 2 

 versehen. Diese Produkte sind aber selbst von der Form (4c + l)- Wäre also in dem 

 Komplexe [11] eine Zahl von der Form 8n — 1 vertreten gewesen, so hätten wir die 

 Gleichungen 



entweder « 2 + (4 c + 1) = 8 n — 1 , 



oder « 2 + 2 (4 c + 1) = 8 n — 1 



gehabt. 



Daraus können die Gleichungen gefolgert werden 

 entweder a 2 = 2(in — 2 c — 1), 

 oder a % = 4 (2 n — 2 c — 1 ) + 1 respektive (a + 1) (a — 1) = 4 (2 k — 1) . 



Die erste Gleichung ist von vornherein als unmögliche ausgeschlossen. Aber auch 

 die letzte Gleichung ist unmöglich. In der Tat ist für dieselbe die Annahme, es sei a 

 eine gerade Zahl, ausgeschlossen. Wäre aber a eine ungerade Zahl, so ist eine von den 

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