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Zahlen (ff -+- 1) und (a — 1) nur mit 2, und die andere durch 4 (in partikularen Fällen 

 sogar mit 8, 16 u. s. w., das heißt überhaupt durch 2 k , wo Je > 1) teilbar. Daraus ersiebt 

 man, daß die Zahlen der beiden Teile der geschriebenen Gleichung nicht die gleichen sein 

 können 1 ). 



Der Komplex [1 • 3] = [1 -3 (1, 1)] enthält als Parameter die Zahlen von der Form 

 a 2 +3(1 -f- 4c) respektive a % -f- 6 (1 + 4 e). Soll unter diesen Zahlen auch die Zahl 2 -f- 3 n 

 vorkommen, so hätten wir die Gleichheiten 



a' 1 -+- 1 = 3 h respektive a 1 -\- 4 = 3 7o 

 gehabt. 



Nun sieht man, daß die letzte Gleichheit nur eine spezielle Form der ersteren ist; 

 ist die erste unmöglich, so gilt dasselbe auch für die zweite. Die Unmöglichkeit der ersten 

 wurde aber durch den oben aufgestellten Satz festgestellt. 



Derselbe Beweis läßt sich aber auf direktem Wege erhalten. Wäre die Gleichheit 



eine mögliche, so wäre dasselbe auch für die Gleichheit 



3 ip\ + pl + pl) = 2 (pt + 1) + 3 k 

 der Fall. Die letzte Gleichheit ist aber unmöglich, da p\ -\- 1 nicht durch 3 teilbar ist. 

 Wir haben im Vorhergehenden die quadratischen Faktoren unberücksichtigt gelassen. 

 Der Beweisgang ändert sich aber nicht wesentlich, wenn auch diese Faktoren mit in 

 Betracht gezogen werden. 



Für den kubischen Komplex erhalten wir anstatt der zweiten obigen Gleichheit die 

 Gleichheit 



a 2 + 2(4c-f- l) = (8n— 1) d 2 

 und daraus 



a a + <2 2 = 2[4(wd 4 — c) — 1]. 



Der erste Teil der Gleichheit ist der Zahlenkomplex {1 • 1}. Derselbe enthält aber 

 ausschließlich die Faktoren 2 und (4 c -j- 1), kann also den Faktor 4 (n d* — c) — 1 nicht 

 enthalten. 



Für den hexagonalen Komplex erhalten wir die Gleichheit 



3 a* + 3 b x + c 1 = (2+3 n) d 2 

 respektive 



3 (a 2 + W + c l ) = 3 n d l + 2 (c 4 + cP). 



Nun aber enthält der Zahlenkomplex (c" 1 -\- d' z ) respektive {1, 1} den Faktor 3 nicht, 

 und die Gleichheit ist somit eine unmögliche. 



Jetzt wollen wir die beiden Zahlenkomplexe entwickeln. 



Diese Entwicklung kann, analog dem, was im ersten Teile ausgeführt, durch sukzessive 

 Addition der Indizes nach Perioden geschehen. Aber der kürzere Weg ist direkt die Reihe 

 {1. 1} anzugeben, und derselben die Reihe a 4 hinzuzufügen. 



l ) In der Zeitschrift für Kristallographie 40, 340 wurde der Beweis auf anderem Wege erbracht. 



