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Nim wird in der Lehre von den regulären Punktsystemen (zuerst von Frankenheim 

 und Bravais) der Beweis erbracht, daß, wenn zu dem gegebenen Raumgitter noch die ihm 

 parallelen Raumgitter hinzugefügt werden, deren Punkte entweder a) die Mittelpunkte eines 

 Systems von rechtwinkligen Flächen oder b) die Mittelpunkte aller drei Systeme dieser 

 Flächen der parallelepipedischen Maschen, oder c) die Mittelpunkte der parallelepipedischen 

 Maschen selbst ohne oder endlich d) mit den Mittelpunkten der Kanten desselben einnehmen, 

 neue Raumgitter entstehen. Der Beweis wurde eigentlich aus allen isotropen Komplexen 

 allein für den kubischen erbracht; der Beweisgang zeichnet sich aber durch solche Ein- 

 fachheit aus, data es hinreichend ist zu erwähnen, daß derselbe ebenfalls für alle isotropen 

 Komplexe gültig ist. 



In der Lehre von der regulären Raumteilung 1 ) wird der Beweis erbracht, daß diesen 

 verschiedenen Raumgittern verschiedene reguläre parallele Raumteilungen resp. Parallelo- 

 eder entsprechen, und zwar jedem solchen Punkts3 T stem ohne hinzugefügte Raumgitter — 

 die Triparalleloeder, den Raumgittern a) die Tetraparalleloeder, den Raumgittern b) 

 die Heptaparalleloeder und endlich den Raumgittern c) die Hexaparalleloeder. 



Beschränken wir jetzt unsere Betrachtungen auf die zwei besonderen Komplexe, den 

 kubischen und den hexao-onalen. 



Die Symmetrie Verhältnisse des ersten sind nur mit den Raumgittern 1) der einfachen, 

 2) der dem Falle b) und 3) der dem Falle c) entsprechenden kompatibel, und die Sym- 

 metrieverhältnisse des zweiten nur mit dem Raumgitter a) kompatibel. Also dem kubischen 

 Komplex sind die Tri-, Hexa- und Heptaparalleloeder zugeordnet, welche sich durch 

 dieselben wirklicken Symmetrieelemente auszeichnen, die für diesen Komplex charakteristisch 

 sind, und dem hexagonal-isotropen System sind allein die Tetraparalleloeder zugeordnet 

 mit den für diesen Komplex charakteristischen wirklichen Symmetrieelementen. 



Alle übrigen Paralleloeder, für welche diese Übereinstimmung in wirklichen Symmetrie- 

 elementen derselben mit denen der Komplexe nicht besteht, bezeichnet man als die 

 anomalen. 



Xun führt die Anwendung der Syngonielehre auf die Lehre über die Raumgitter die 

 folgenden neuen Definitionen und Sätze ein. 



Ein rechtwinkliges Raumgitter, dessen parallelepipedische Maschen 

 durch rechteckige Flächen begrenzt sind, und in deren Flächen die Seiten 

 sich wie die Quadratwurzeln von ganzen Zahlen verhalten, wird das isotrope 

 genannt. 



Es gibt unendlich viele isotrope Raumgitter. 



Wenn wir ein isotropes Raumgitter, dessen Seitenkanten die Parameter P,, P 2 , P 1 P 2 

 sind, in demselben Punktsystem durch ein anderes ersetzen, dessen Seitenkanten wieder drei 

 zueinander senkrechte Strahlen sind mit denselben Parameter P v P 2 und P, P 2 (deren zu- 

 geordnete Strecken aber von anderer absoluter Größe sind), so erhalten wir ein anderes 

 Raumgitter, welches dem ersteren wesentlich gleich ist, indem seine Kantenstrecken durch 

 proportionale Strecken ersetzt sind, und dabei bildet dieses Raumgitter nur einen integrie- 

 renden Teil des ersten. 



l ) Am. umständlichsten in den Abhandlungen der K. Bayer. Akademie der Wiss., II. Kl., XX. Bd., 

 II. Abteil.. 1900, S. 32 ff. 



