Dieser Ersatz ist aber auf unendlich viele Weise auszuführen. 



Bezeichnen wir die drei Hauptstrahlen des ersten Raumgitters durch r v r 2 , r 3 respektive 

 mit den Parametern P v P 2 , Pj P 2 , so können wir zum Beispiel die Strahlen r t und r 2 in 

 ihrer Ebene um r a drehen, bis r, mit einem Strahl r,' sich deckt, welcher sich in derselben 

 Ebene durch denselben Parameter P : auszeichnet (und wir wissen, daß in jeder Strahlen- 

 ebene unendlich viele solcher gleichen Strahlen vorhanden sind); dann muß notwendig auch 

 der Strahl r 2 mit einem ihm gleichen Strahl r 2 mit dem Parameter P 2 zur Deckung kommen. 

 Jetzt führen wir noch eine solche Drehung der Strahlen r 2 ' und r 3 in ihrer Ehene um den 

 Strahl r x ' aus, und erhalten eine neue Kombination zueinander senkrechten Strahlen r^, r 2 ", r 3 ' 

 mit denselben respektiven Parametern P,, P 2 und P X P 2 , und diese drei Strahlen können 

 wir also als Hauptstrahlen des neuen, aber gleichen Raumgitters annehmen. 



Überhaupt können wir den Strahl t\ durch einen beliebigen ihm gleichen Strahl r,' 

 des Komplexes ersetzen und als r 2 einen sonst beliebigen, aber zu r t ' senkrechten Strahl 

 auswählen, dessen Parameter gleich P 2 ist; dann muß als r 3 ' derjenige Strahl angenommen 

 werden, welcher zu beiden Strahlen r,' und r 2 senkrecht steht. Da der Komplex derselbe 

 ist, so muß r s ' den Parameter P 1 P 2 besitzen. 



Also jedes isotrope Raumgitter enthält in sich unendlich viele ihm gleiche 

 aber nicht parallele isotrope Raumgitter. 



Im Gegensatz zu ebenen Netzen enthält jedes Raumgitter auch unendlich viele Systeme 

 ihm ungleicher isotroper Raumgitter in sich. 



Denken wir uns nun, daß um jeden Punkt eines isotropen Raumgitters gleichzeitig 

 und mit gleicher Geschwindigkeit eine Sphäre wächst, deren Mittelpunkt dieser Punkt ist, 

 bis endlich unendlich viele Sphären zugleich zur Berührung kommen, aber in dem frei 

 gebliebenen Räume mit derselben Geschwindigkeit fortwachsen; dann entsteht zuletzt 

 in dem unbegrenzt gedachten Räume ein unendliches System von Polyedern, welche als 

 Paralleloeder bezeichnet wurden, da in denselben notwendigerweise die Flächen in die 

 gleichen und parallelen Paare sich teilen lassen. 



Daß diese Polyeder wirklich Polyeder und dabei Paarflächner 1 ) sind, folgt daraus, daß 

 bei diesem Sphärenwachstum sich die ebenen Flächen ausbilden, welche zu den die nächst- 

 liegenden Punkte verbindenden Geraden senkrecht stehen und durch deren Mittelpunkte 

 hindurchgehen. 



Daß dieselben wirklich Paralleloeder sind, folgt daraus, daß durch sie der unbegrenzt 

 gedachte Raum in gleiche und parallele Bereiche regulär geteilt wird. Zugleich sind diese 

 Paralleloeder konvexe Polyeder. 



Nun wird in der Lehre von der regulären Raumteilung wirklich der Beweis erbracht, 

 daß solche Paralleloeder nur Tri-. Tetra-. Hepta- und Hexaparalleloeder sein können. 

 A\ ie wir gesehen haben, gehören dazu vier verschiedene Arten von Raumgittern, welche 

 wir als solche L, IL, HI. und IV. Art bezeichnen können. 



Es sei noch erwähnt, daß hier von den primitiven und einfachen Parallelogonen die 

 Rede ist. 2 ) 



') Unter Paarflächner wird ein Polyeder verstanden, dessen Flächen paarweise gleich und parallel 

 sind (gleichgültig gerade oder umgekehrt parallel). Elemente der Gestaltenlehre § 69. 



2 ) Das primitive, das heißt das Inversionszentrum besitzende Paralleloeder (Elemente der Gestalten- 

 lehre § 76). Das primitive Paralleloeder wird als das einfache bezeichnet, wenn in demselben parallele 

 Flächen nur paarweise auftreten; sonst heißt es ein zusammengesetztes (ebenda § 76). 



