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Alles zusammengefaßt, ergibt sich, daß jedem isotropen Raumgitter I. Art die 

 Triparalleloeder zukommen, welche mit den parallelepipedischen Maschen 

 desselben identisch sind. 



Jedem isotropen Raumgitter II. Art kommen bestimmte Tetraparallelo- 

 eder zu. 



Jedem isotropen Raumgitter III. Art kommen bestimmte Hepta- und dem- 

 jenigen IV. Art bestimmte Hexaparalleloeder zu. 



Bekanntlich gehören die Paralleloeder zu derjenigen Abteilung der Polyeder, welche 

 als die Zonoeder abgegliedert werden. 1 ) 



Nun läßt sich der Satz aufstellen, nach welchem sämtliche zentrale, zu primi- 

 tiven Zonenachsen senkrechte Schnittfiguren der einfachen isotropen Par- 

 alleloeder einfache isotrope Parallelogone sind. 



Daß diese Schnittfiguren Parallelogone sind, wurde schon früher erkannt *). Daß aber 

 diese Schnittfiguren isotrope sind, folgt daraus, daß die respektiven Schnitte des Raum- 

 komplexes isotrope ebene Komplexe sind. 



Aber durchaus nicht alle diese Schnittfiguren stellen normale Parallelogone dar. 



Dies ist für das normale Triparalleloeder des kubischen und für das normale Tetra- 

 paralleloeder des hexagonal-isotropen Komplexes, ebenso wie für sämtliche Schnittfiguren 

 des normalen Hexaparalleloeders des kubischen Komplexes der Fall. Die Schnittfiguren 

 aber des normalen Heptaparalleloeders des kubischen Komplexes sind die anomalen Tri- 

 parallelogone. 



Dies ist schon daraus ersichtlich, daß der ebene 

 Schnittkomplex des Heptaparalleloeders den Parameter 2 

 und nicht 3 besitzt. Übrigens ist dies direkt daraus zu 

 schließen, daß in der zentralen Schnittfigur des Hepta- 

 paralleloeders die Diagonale a d des Triparallelogons durch 

 zwei vertikale AB und CD in drei gleiche Strecken ab, 

 bc, cd geteilt wird, während im regulären Sechsecke die- 

 selbe Diagonale durch AB und CD in ungleiche Strecken 

 ab = de, und bd = bc + cd = ab -j- de geteilt wird. 

 Folglich kann das erste Sechseck durch keine homogene Deformation in das reguläre 

 Sechseck verwandelt werden. 



Die ebenen Schnittkomplexe des normalen Triparalleloeders besitzen sämtlich den 

 Parameter 1. 



Der ebene, zur Achse [1000] senkrechte ebene Schnittkomplex des normalen Tetra- 

 paralleloeders besitzt den Parameter 3, während drei zu derselben Achse parallele ebene 

 Schnittkomplexe derselben Figur durch die senkrechten Strahlen {3-3} bestimmt sind, 

 folglich den Parameter 1 besitzen. 



Fig. 23. 



1 ) Die primitive Zone eines Polyeders heißt eine ununterbrochene Flächenreihe, deren jede zwei 

 nächste Flächen sich in parallelen Kanten schneiden (Kantenrichtung = Zonenachse). Das Zonoeder ist 

 ein Polyeder, deren sämtliche Flächen sich in primitiven Zonen verbinden (Elemente der Gestalten- 

 lehre § 65.). 



2 ) Elemente der Gestaltenlehre § 82. 



