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Die Gleichungen dieses Syngonieellipsoides lassen sich direkt aufstellen auf Grund 

 derjenigen Eigenschaft desselben, daß seine Hauptachsen die einzigen konjugierten senk- 

 rechten Geraden sind. Dazu sind die Projektivitätsgleichungen anzuwenden, welche nach 

 dem Berechnungssystem des Verfassers zur Bestimmung der projektiven Indizes dienen 1 ). 



In einfachster Form sind diese Gleichungen für die Berechnung der Flächenindizes: 



Pi_ = «, lh + "■» lh + a * P% 

 und für die Berechnung der Kantenindizes: 



»V = — fl 2 >\ + «, r 2 



'V («2 «5 — «3 «4) >"l — «1 a * r 2 + a i «4 r 3 ' 



Für die senkrechten Flächen und Kanten haben wir die Gleichung: 



P,' : Pa'-Pi'= r 1 '- r 2- r s- 

 Speziell für die konjugierten haben wir außerdem: 



Pi ■■P-2'-Pi = r i - r a- r s- 

 Folglich bestehen für die Achsen (d v d 2 , d 3 ) der Syngonieellipsoide die Gleichungen 



a l dj -+- a. 2 d. 2 -f- a a cZ 3 _ a t d x 



a 4 d 2 -f- a. d s — a 2 d^ -f- a, d. 2 



d 3 (« 2 «5 — a t «4) Cl l - a i «5 Cl t + «1 ff 4 d i 



und gerade diese Gleichuug ist die gesuchte charaktei-istische Gleichung für das Syngonie- 

 ellipsoid. 



Da in diesen Gleichungen die Koeffizienten der Projektivitätsgleichungen «,■ im All- 

 gemeinen irrationale Zahlen sind, so ergibt die Auflösung dieser Gleichungen irrationale 

 Werte für d. Also im Allgemeinen, das heißt für die trikline Syngonie, sind die 

 Strahlen, welche die Ellipsoidachsen darstellen, nur durch irrationale Indizes 

 ausdrückbar. 



Diese Schlußfolgerung ist mit derjenigen identisch, nach welcher in triklinen Kom- 

 plexen drei senkrechte rationale, das heißt dem Komplexe zugehörige Strahlen unmöglich 

 sind. Und in der Tat, wären solche vorhanden gewesen, so hätten wir in den drei senk- 

 rechten Schnittebenen des Komplexes orthogonale Zonen (rhombische ebene Strahlen- 

 komplexe) gehabt, und dies wäre keineswegs als allgemeiner Fall zu bezeichnen. 



Noch zweckmäßiger wäre es die Komplexe als veränderliche zu betrachten, inso- 

 fern diese Veränderlichkeit mit dem Vorhandensein der bestimmten wirklichen Symmetrie- 

 eleraente kompatibel ist. In dieser Auffassung wäre aber das Vorhandensein der Symmetrie- 

 elemente als eines speziellen Falles abzusondern. Dann hätten wir sagen können, daß von 

 Belang nicht die zufällig erscheinenden rechten Winkel, sondern solche sind, welche als die 

 notwendigen Folgerungen der Annahme der Symmetrieelemente auftreten. 



l ) IV. Analytiach-kriätallographiacbe Studie. Einleitung. 

 Abb. d. II. Kl. d. K. Ak. d.Wiss. XXIII. Bd. I.Abt. 11 



