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Dann würden wir folgende spezielle Fälle unterscheiden können: 



1. Es gibt keine wirklichen Symmetrieelemente. Natürlich ist im Komplexe selbst 

 stets ein Inversionszentrum vorbanden. In diesem Falle sind keine notwendigen Bedingungen 

 dafür vorhanden, daß die Ellipsoidachsen rational sind. Sie sind also alle als irrationale 

 Strahlen anzunehmen. Zugleich gibt es keine gleiche Strahlen, das heißt solche, welche 

 notwendigerweise zur Deckung kommen, wenn wir den Strahlenkomplex in anderer Orien- 

 tierung mit sich selbst zur Deckung bringen, da jetzt überhaupt eine solche Deckung aus- 

 geschlossen ist. Alle Komplexstrahlen sind somit singulare. 



Diese Syngonieart wird als die trikline bezeichnet. 



In diesen Strahlenkomplexen sind sämtliche Zonen schiefe. 



2. Es gibt eine zweizählige Symmetrieaxe. Da zugleich das Inversionszentrum not- 

 wendig vorhanden ist, so folgt daraus, daß auch die resultierende, zur Symmetrieachse 

 senkrechte, Symmetrieebene notwendig vorhanden ist. 



In diesem Falle muß notwendigerweise eine der Ellipsoidachsen diese Symmetrieachse 

 sein, und die senkrechte Symmetrieebene ist die Ebene der beiden anderen Ellipsoidachsen. 



Diese Ebene ist zugleich diejenige besondere Ebene, in welcher sämtliche Strahlen 

 singulare sind. Außerdem ist natürlich die Symmetrieachse, welche allein vorhanden ist 

 und zu dieser Ebene senkrecht steht, ebenfalls singulär. Sämtliche andere Strahlen sind 

 paarweise einander gleich, da sie zur Deckung kommen, wenn man den Komplex selbst 

 durch die diesem zukommende symmetrische Operation zur Deckung bringt. 



Diese Syngonieart wird als die monokline bezeichnet. 



Da in diesem Falle eine Ellipsoidachse notwendigerweise rational ist, so können wir 

 derselben rationale Indizes zuschreiben. Nehmen wir für dieselbe die Indizes [010] an, so 

 erhalten wir für die Koeffizienten der Projektivitätsgleichungen die Bedingungen a. 2 = und 

 a. = 0, und dann reduziert sich die Gleichung der Ellipsoidachsen zu : 



«j d r -\- a 3 d 3 a 4 d, 



a i d., a, d„ 



d 3 ~ — a s a 4 d t -+- a,«^" 



Da für die Indizes (d 1 d 2 d 3 ) nur ihr Zahlenverhältnis in Rücksicht kommt, so ist 

 es erlaubt, eine dieser Zahlen, z. B. d 3 , als Einheit anzunehmen, falls dieselbe nicht 

 gleich Null ist. 



Dann erhalten wir zwei Gleichungen zur Bestimmung der beiden anderen Indizes 



(a, d l + a 3 ) (— rt 3 a 4 d, + a, a 4 ) = a 4 d 1 

 und 



a\ <?, d 2 = a, («, cZj + a 3 ) d 2 = (ai d l -j- a x a 3 ) d 2 . 



Die Auflösung der ersten Gleichung als quadratische in Bezug auf d 1 gibt zwei Werte 

 rf/ und (?,", und dabei stets reelle, da: 



d,= 



- »i a i 



Setzen wir diese Werte in die zweite Gleichung, so erhalten wir, daß die Summe 

 (a; — aj) d 1 — a, a s nicht verschwindet, also d 2 gleich Null sein muß. 



