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Wenn umgekehrt in der zweiten Gleichung d 2 nicht gleich Null angenommen wird, 



so erhält man d, = -^- J — ^s , und setzt man diesen Wert in die erste Gleichung, so erhält 

 1 ai — ai ö ' 



man den Widerspruch. Also bei der Annahme, daß d 2 der Zahl nicht gleich ist, ist 



die Annahme d~ = 1 unmöglich, also d« = und zugleich d. = 0, da ■— = -~ — 5_. 



3 1 d z a: — ai 



Somit erhalten wir die Werte für drei Ellipsoidachsen d/ 01, d" 01 und 010. Die 

 Kenntnis der Indizes d x ' und d" lassen uns die Lage der betreffenden Strahlen berechnen 

 durch die Winkelgrößen, welche diese Achsen mit der Vertikalachse [001] bilden. Diese 

 Indizes selbst sind aber irrational, und die Achsen selbst können nicht die Komplex- 

 strahlen sein. 



In diesem Falle sind alle ebenen Strahlenkomplexe, welche den besonderen 

 Strahl (Symmetrieachse respektive Normale zur Symmetrieebene) enthalten, orthogonale 

 (rhombische). 



Wählen wir als diesen besonderen Strahl den Strahl A (Fig. 16, S. 53) aus, und als 

 Strahlen A' und A" die Strahlen in der besonderen Ebene, so erhalten wir aus der Formel 2), 

 daß das rationale Doppelverhältnis 



SmjA'PA") _ Sin (A"PA) 

 Sin(A' QA") : Sin (A" Q AY 



falls P und Q in der Ebene A A' liegende Strahlen sind, sich auf das folgende 



cos A P sin A P , , . tang A Q 



—r~Ä '■ r~7i respektive - — _ 



cos A Q sin A V tang A F 



reduziert, was gemäß dem I. Teil für die orthogonalen Zonen charakteristisch ist. 



Auf Grund des Gesetzes des Dualismus folgt weiter, daß auch jeder in der 

 besonderen Ebene liegende Strahl die Achse der orthogonalen Flächenzone ist. 



Das sind die einzigen Fälle, in welchen nicht sämtliche drei Ellipsoidachsen die 

 rationalen Strahlen und zugleich die Achsen der orthogonalen Zonen sind. 



Von den isotropen Komplexen vertritt allein der kubische eine besondere Syngonieart, 

 da hier allein die Gesamtheit der Symmetrieelemente zulässig ist, welche den Komplex 

 unveränderlich machen. Dazu sind vier dreizählige Symmetrieachsen hinreichend, welche 

 die Lage der Würfeldiagonalen besitzen. Für die übrigen isotropen Komplexe ist dies nicht 

 der Fall. Allein der hexagonal-isotrope Komplex zeichnet sich durch Zulässigkeit der 

 sechszähligen Symmetrieachse aus. Aber das Vorhandensein dieser Achse bedingt noch 

 keineswegs die genannte Unveränderlichkeit, da dabei stets die Dilatation in der Richtung 

 dieser Achse möglich ist unter der Bedingung der Beibehaltung der vorhandenen Symmetrie- 

 elemente. 



Diesem Komplex entspricht als Syngonieellipsoid nicht notwendig die Sphäre, welche 

 lediglich als ein Grenzfall bei diesen Veränderungen erscheint, sondern ein RotationsellijDsoid, 

 in welchem die Rotationsachse mit dieser Symmetrieachse koinzidiert. 



Das Rotationsellipsoid kommt aber auch zu Stande, wenn man die Dilatation des 

 kubischen Komplexes in der Richtung der vierzähligen Symmetrieachse ausführt. Diese 

 Syngonieart ist aber von der vorigen dadurch verschieden, daß eine einzige isotrope Zone 

 hier die tetragonale (mit Parameter 1), dort die hexagonale (mit Parameter 3) ist. 



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