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Wenn also diese konjugierte Kante zur Kante | m n | senkrecht steht, so muß die 



Gleichheit bestehen 1 ) 



■ n r a — m r a m r 2 ' -\- nr, \ 



np s ' — !«j) 3 ' m p 2 -\- n p^ =0, 

 ft' P» Ps 



wo die Apostrophe die zugehörenden projektiven Indizes bedeuten und der Kante \r t ' r 2 r 3 '] 

 die eigentlichen Indizes \j> 1 p 2 p^] zukommen. 



Führen wir also die eigentlichen Werte ein, so erhalten wir die quadratische 

 Gleichung : 



" » {(«2 a 5 — a 3 a d Pl — a i a 5 lh + «1 ß 4 Ps) — m i( a 2 a 5 ~ «3 »J Pl ~ «1 «5 P* + «1 «4 P$} 

 n Pi m Ps 



«i Pi + a 2 Pi + a s Ps a i P 2 + a i Ps 



= 0. 

 {m (— a t p 1 + a, p 2 ) + n a 4 p 1 } 

 in (a A p, + a s p a ) + n (o, p, + a 2 p 2 + a a p a ) 



Ps 



Für die trikline Syngonie ergibt diese Gleichung für m und n lauter irrationale Werte, 

 da keine senkrechten rationalen Strahlen vorkommen. 



Für die monokline Syngonie vereinfacht sich diese Gleichung, da a 2 = und a 5 = 0. 

 Also nimmt sie die Form an: 



— n (— a 3 a t p l -f- a, a 4 p a ) - m (— a a a 4 p 1 + a, a 4 j? 3 ) (»m a, # 2 + w a 4 p s ) 



- n p a — tn p a m a 4 p s -f- w (o, #, + a a p a ) 



«i.Pi + s2>s a iPi lh 



0. 



Die Gleichung genügt für alle Flächen Q>, ^? 3 ), also p 2 = 0, wenn dabei m = 0, 

 und n bleibt unbestimmt. Also sind zueinander senkrecht die Kanten 



[0;7 3 0] + n [j7 3 Ä ] = — n\j> a OpJ. 



Die dieser Kante koordinierte ist 



Ps p l 



Pi Ps 



= [010]. 



Für die rhombischen Komplexe haben wir noch a 3 = 0, und die Gleichung reduziert 



sich auf 



-na, a t p a — m a 1 a 4 p s m a, p. 2 + n a t Pl 



— n p a — m p a m a i p s + n a, p x = . 



«iJPl a il'-2 PS 



Dieser Gleichung wird nicht nur die Bedingung p 3 = und m = 0, sondern auch 

 ^ 1= und n = 0, und noch i> 3 =0 und w = zugeordnet. Wenn z.B. p t = 0, so 

 haben wir: 



01 =[0^ s i>,], 10 1 = [100], also \mn =m [0fti>J + [100] = [0p a p 2 ~]. 



*) Diese Gleichheit wurde zuerst in der Zeitschrift für Kristallographie 33, 588 aufgestellt. 



