239 



zwei von Je, l. m abhängige Hülfsfunktionen einführen, läßt sich obige Fouriersche Formel 

 in der Gestalt: 



(9) q = f(x, y, g) = $n?- 9' ■ ** <« dm 



— CD 



schreiben. Diesen Wert setzen wir auf der rechten Seite von (6) ein und erhalten dadurch 

 eine für alle Werte von x, y, z gültige analytische Darstellung der Funktion g. 



Von den mehrfacben Integralen machen wir uns frei, indem wir auch auf der linken 

 Seite von (6) statt der Funktion cp mittels der Formel 



+ CO 



(10) </ = J J X cp' (k, l, m) -P-dJedldm 



— x 



eine weitere Hülfsfunktion cp' einführen. Die auf der rechten und linken Seite von (6) 

 dann unter dem dreifachen (nach Je, l, ni) genommenen Integralzeichen auftretenden Funk- 

 tionen setzen wür einander gleich und dividieren beiderseits mit P; so entsteht die folgende 

 partielle Differentialgleichung für die von x,y,z,Je,l,m und t abhängige Funktion cp': 



(11) ^-8^^-28^-^ + 88^- t^-^JVW •«'"'• 

 v dt 3 dx dt dxdt 3xdy 



Die Differentialgleichung ist der Gleichung (6) vollkommen analog gebildet ; statt der 

 unstetigen Funktion g =f(x, y, £) steht nur jetzt auf der rechten Seite die durchaus stetige 

 Funktion o', welche durch (7) eingeführt wurde. Die Bestimmung der Potential- 

 funktion ff ist daher vorläufig zurückgeführt auf die Bestimmung einer 

 spezielleren Potentialfunktion cp', welche einer durch den ganzen Raum stetigen 

 (wenn auch imaginären) Dichtigkeitsverteilung q' der Elektrizität entspricht. 



Die Berechtigung der bei dieser Zurückführung benutzten Operationen bedarf aber 

 noch der näheren Untersuchung; die Gleichung (6) nämlich führt nur dann auf die Gleichung 

 (11) für <p', wenn es gestattet ist, die Differentiation der durch (10) definierten Funktion cp 

 nach x, y, z, t unter dem dreifachen Integralzeichen auszuführen. Bleibt die Funktion 

 ff' {k, l. >n) für unendlich große Werte von Je, l, m endlich, so ist diese Operation jedenfalls 

 erlaubt, wenn auf der rechten Seite von (10) unter dem Integralzeichen der Faktor 

 e~ ps hinzugefügt wird, wo s die positive Quadratwurzel: 



(12) s = VW + Z 3 '+ m 3 " 



bedeutet und p eine positive Konstante bezeichnet. Setzen wir also: 



(1 3) cp p = XJJ e-i"> cp 1 (Je, l, m) ■ P-d le d I d m 



CO 



und zur Abkürzung: 



dt 2 dx dt dxdt ^ dxdy " r 



so genügt die Funktion (p p nicht der Differentialgleichung (6), sondern der Gleichung: 



+ CO 



( 1 5) D c Pjl = c- JXX e~i" P-g' -d Je dl dm; 



— 00 



und das obige Verfahren, welches die Gleichung (6) auf die Gleichung (11) 

 zurückführte, wird nur anwendbar sein, wenn die Gleichung: 



