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§ 4. Berechnung; einiger Hilfsintegrale. 



Ist die Formel (34) anwendbar, so kommt es zunächst auf die Auswertung des In- 

 tegrals S an. Differenzieren wir dasselbe nach a und führen die Differentiation unter dem 

 Integralzeichen aus, so wird: 



dS f . . . ds 



— = a I sin a s ■ sin cts • sin li s — . 

 da <J s 



o 



Das rechts stehende Integral ist aber nur bedingt konvergent, und deshalb ist die 

 Zulässigkeit der Differentiation unter dem Integralzeichen zweifelhaft. Um alle Zweifel 

 zu beseitigen, betrachten wir das allgemeinere Integral, welches entsteht, wenn wir unter 

 dem Integralzeichen den Faktor e~ ps hinzufügen und gehen nachträglich zur Grenze p = 

 über. Wir beginnen also mit dem Integrale: 



Co 



,- „, C sin a a; — a x cosin a x . „ , _ 3 J„ 



(35) Df, = \e- i,x - — 3 — sin ß x sin y x ■ dx = J p — a — -, 



o 

 wenn: 



J(L iß 

 e —px s j n axsm ß xsinyx — - 



o 



gesetzt wird. Es wird ferner: 



9 J P C ■ ■ n dx 



— - = I e-i' z cosm axsm ß x sin y x —5- , 

 da J ' ' x° ' 







CO 



3 2 J„ C ■ • n dx 



— — ~ = — I e~ px sin a x sm ß x sm y x — . 

 da- J ' ' x 







Das letzte Integral ist unmittelbar bekannt, denn setzt man: 

 , g - f>i = «-\-ß-y, ö 2 = a~ß-\-y, 



'\ = (t + ß + Y, o i = a — ß — y, 

 so ist: 



sin a x sin ß x sin y x = — (sin d 1 x -\- sin <5 2 x — sin <5 3 x — sin d i x) 



und folglich: 

 &J P _ 1 



a? . dx 5s . ., d rr *> . „ fZ # <s .' dx 



\e~ px smo i x 1- ( e — pz sm d 2 # — —\ e~ I ' x s\n o^x— — \ e ~ px smo i x 



LO ■* "° X 



3 a 2 4 



Die hier rechts auftretenden Integrale sind bekannt; man hat 



\e~ px si 

 und somit: 



dx 6 



~ px sm dx = arctang — , 

 x ° p 



i£—\ 



arctang — -f- arctang — — arctang— — arctang — 



