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§ 5. Über die Zulässigkeit der vorgenommenen Yertauschungeu von Differentiationen 



und Integrationen. 



Die im Vorstehenden aufgestellten Kelationen sollen uns noch dazu dienen, die am 

 Schlüsse von § 3 aufgeworfene Frage zu beantworten, ob die dort vorkommenden Differen- 

 tiationen unter dem Integralzeichen erlaubt sind. Wir fragen zu dem Zwecke nach der 

 Bildung der Differentialquotienten von S a nach y, d. h. wir bilden den betreffenden Differen- 

 tialquotienten von S p und gehen dann zur Grenze p = über. 



Es ist nach (38) und (39): 



3Jo 



S„ = J„ — 



(46) 



da 



(ß — r) log -st-» — (ß+r) lo S 



'P 2 +öl 



'f + Si 



+ 



A S \ / ä A 



Ö, d.. ( arctg — + arctg — ) — <5, ö. ( arctar — + arctg ~ 



° p ' ° p ) 34 V p p 



folglich : 



dSj, 

 dy 



(47) 



+ 



io ^: + w + f +( ^,)f^ + ^U(^^ ** ^ 



'Cp*+W+3) 



f 1- % P 2 + öl 



p*+ öl f -+- ö: 



arctg ^ + arctg J j + (/J + y) (arctg ^ + arctg ^ 4 



(5,4 



Ms 



M-t_ _M 4 



SS T~ „2 



L/ -1- ö'l p 2 -\- d\ f + dl ' p- -T dfj 

 Für ^ = haben wir wieder die obigen verschiedenen Fälle zu unterscheiden: 

 I. a> ß>y, (5, > 0, 6 i > 0, <5, > 0. 

 1. d i = a-ß~y>0, 



(48) 



3 5* 



,dyJ P =o 2 ' 3 



.t 3$ 



, ( ß = — - in Übereinstimmung mit (40), 



(48*) 



\3y)p=o 



3. d A = a 



(48") 



\3r) P = o 4^ y) 9y 

 IL ß>a>y, d t >0, '5 3 >0, d, <0. 

 1. <5 2 = a — /9 + ;->0. 



I49 > $),.;-*»-'>- 3 



— (ß ß — y) nicht in Übereinstimmung mit (40 a ), 

 o 



;'<0. 



in Übereinstimmung mit (40 b ). 



in Übereinstimmung mit (41), 



