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2. d. 2 = a-ß + y = Q, 



(49 a ) ("T^l == "q(^ — y) nicht in Übereinstimmung mit (41 a ), 



3. ,5, ==a— /J+ ;•<(), 



(49 b ) — ^ =0=—-^ in Übereinstimmung mit (41 b ), 



V 3 y Jp = o 3 ;' 



und analog für III. ß> y > a. 



dS 



Die Grenzwerte, welche sich für p = aus — - ergeben, sind diejenigen Werte, welche 



man erhält, wenn man in S a I also in J und — - ) die Differentiation nach y unter dem 



Integralzeichen ausführt. Die Differentiation von S n unter dem Integralzeichen 

 führt daher in allen Fällen zu richtigen Resultaten, allein ausgenommen die 

 Grenzfälle d i = 0. <5 S = 0, (5, = 0. 



Bilden wir auch den zweiten Differentialquotienten nach y und bezeichnen mit P 

 einen Ausdruck der für p = verschwindet und deshalb nicht genauer berechuet zu werden 

 braucht, so wird: 





^1 l j. <*2 ^3 Al 



arcta - — -4- arcts; — — arct»' — — arctg — 

 ö p ° p ° p ö p 



K 



Die hier auftretende eckige Klammer ist dieselbe, welche in (37 :| ) auftrat und zu dem 



d~ S 

 Integrale (46) führte. Es ist also — — j für p = bis auf das Vorzeichen mit dem Integrale 



j identisch, und folglich: 



3" Sp\ 7i 



ar 3 A = o 4' 



wenn sich aus den drei Strecken et, ß, y ein Dreieck bilden läßt, dagegen: 



,3y 2 J P =o 



wenn sich ein solches Dreieck nicht bilden läßt. 



Die erstere Gleichung erhält man ebenso aus (43) bzw. (48 b ) und (49 a ), die letztere 

 Gleichung aus (44) und (45), bzw. (48) und (49 b ), wenn man vor der Differentiation p = 

 setzt und unter dem Integralzeichen differenziert. Auch die Bildung der zweiten 

 Differentialquotienten von S g nach y kann daher so geschehen, daß man einfach 

 unter dem Integralzeichen differenziert. Dies Resultat war nicht mit Sicherheit 

 vorauszusehen, da das durch Differentiation unter dem Integralzeichen entstehende Integral j 

 nur bedingt konvergent ist. 



Für die Differentiation von S n nach ß gilt natürlich dasselbe. 



Wenn wir jetzt zu unseren Untersuchungen zurückkehren, so haben wir zunächst zu 

 entscheiden, ob das Integral (34) mit (33) wirklich gleichwertig ist; es ist dies sicher der 



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