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x = x" ■ cos (x, x") + y" ■ cos (#, y") + s" ■ cos (#, #'-), 



(58) y = *" • cos (y, x") + y" ■ cos (y, y") + z" . cos (y, z"), 

 z = x" ■ cos (z, x") + v/" • cos 0, y") + 5" • cos (*, «") 



noch die Koeffizienten zu berechnen. Jedenfalls ist: 



(59) cos (*,*") = |> cos (y, *") = f . cos(*,*'0 = ^. 



Die #"- Achse steht zur #"- und £"- Achse senkrecht, außerdem aber auch zur #-Achse; 

 es ist also: 



(60) cosin (x", s) = 0, 



und die drei genannten Achsen liegen in einer Ebene, so daß: 



(61) cosin (*, y") = sin (z, z") = sin (*, T) = YZ+Jl . 



Die übrigen Koeffizienten ergeben sich aus den elementaren Formeln der orthogonalen 

 Transformation; man findet so durch leichte Rechnung: 



x = oV~ *" n T ~y"^ + *" i <?), 



(62) y = -~(x-$T -y" V C + *" r, q) , 



* = jr ( ° +y'V'+*"f'e), 



wo zur Abkürzung o = Vi 2 + ?r gesetzt ist, oder nach Einführung von Polarkoordinaten 

 mittelst (57): 



r 



x = — ;=( — Tj Tsin cosin ¥ — f £ sin sin !F-|- | q cosin 0), 



(63) y = —~ (| T sin cosin !P — >? £ sin sin ?P + V Q cos i n ©) > 



£ = -^~ ( -f- g 2 sin sin '_F -j- £ q cosin 0). 



Die Koordinaten x, y, z kommen in q> nur vor, insofern sie in R eingehen; man findet 

 sofort aus (63): 



i? 2 = (x + 1) 2 + (y + v y + (z + cy 



= r 2 +T *-{-2(xZ-\-y v + z0 



(64) = r 2 + T 2 + 2 r T cosin 0. 



Ferner ist: 



# 1 

 (64 a ) cosm (r, a?) = - = — =(| o cosin — v\ Tsin cosin !F — £ I sin sin W), 



und: 



,„, tt • ^-n -, « + l Q £ ( r cosin -\- T) — rt r T sin cosin !F — £ £ r sin sin IF 

 (64 b ) cosm LR,«) = — ^ — = - — ! — —=± =_ =r^: . 



% qT l/r 2 + T 2 + 2rTcosin0 



Abb. d. II. KI. d. K. Ak. d. Wiss. XXIII. Bd. IL Abt. 34 



