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(Jber die Resultante eines Systemes mehrerer algebraischen Gfleichungen, 



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Beitrag zur Theorie der Elimination 



Yon Dr. Sclilafli. 



(Vorgelegt in der Sitzung der math ematisch-natnrwissenschaftlich en Classe am 9. Jiinner 1851.) 



Die Theorie der Elimination aus algebraischen Gleichungen scheint bis jetzt noeh selten in ihrer 

 ganzen Allgemeinheit behandelt worden zu sein. Nur fur lineare Gleichungen hat man den allgemeinen Fall 



einer beliebigen Anzahl derselben untersucht; fur hohere Gleichungen ist man fast immer bei der Zweizahl 

 stehen geblieben, und es ist mir keine Schrift bekannt, worin der Satz fiber den Grad der Endgleichung 

 eines Systemes ganz im Allgemeinen bewiesen ware. Hesse hat zwar im 28sten Bande des Crelle'schen 

 Journals interessante Betrachtungen liber das Resultat der Elimination von zwei Unbekannten aus dreien 

 quadratischen Gleichungen angestellt und daraus Folgerungen gezogen, welche fur die Theorie der Curven 

 dritten Grades von fundamentaler Bedeutung sind. Aber die Andeutungen fiber ein allgemeines Eliminations- 

 verfahren, die er dort beilaufig gibt, sind nach meinem Urtheile nicht einmal theoretisch ausffihrbar. Dass 

 in dieser Sache bis jetzt so wenig gethan worden ist, rfihrt vielleicht von ihrem geringen praktischen Inter- 

 esse her. Denn sobald Anzahl und Grade der Gleichungen eines Systemes auch nur die Zweizahl fiber- 

 schreiten, so besteht die Endgleichung schon aus einer so unubersehbaren Menge von Gliedern, dass die 

 numerische Behandlung ganz unpraktisch wird. Aber wie viele Zweige gibt es nicht in der Mathematik, 

 in denen man. unbekfimmert urn numerische Anwendung, zufrieden ist mit der Einsicht in die blosse Mog- 

 lichkeit einer Losung oder eines Verfahrens? Durchgeht man Alles, was bis jetzt in Beziehung auf lineare 

 Gleichungen gethan worden ist, von der Regel Be z out's oder Cramer's an bis auf die schonen Satze, 

 welche J a c o b i im22sten Bande des Cr ell e 'schen Journals bewiesen hat, so gewahren diese Resultate einen 

 fiberwiegend theoretischenGenuss, und man wird zu dem Verlangen fortgefuhrt, dasGebiet unserer Einsicht in 

 die Natur eines Systemes von algebraischen Gleichungen fiberhaupt in ahnlicher Weise erweitert zu sehen. 

 So wie bei linearen Gleichungen nicht sowohl die befriedigte Endgleichung fur sich , als vielmehr , abge- 

 sehen von ihrer Erftillung, nur die Form ihres Polynoms, gleichsam seine auf einen Schlag vor sich gehende 

 Construction aus den Coefficienten der gegebenen linearen Gleichungen, uns vorzfiglich anspricht, so 

 mochten wir auch bei hoheren Gleichungen die Form des Polynoms der Endgleichung (le resultant, wie es 

 Cay ley nennt), seine Zusammensetzung aus alien Coefficienten der ursprfinglichen Gleichungen ubersehen. 

 Fiir zwei Gleichungen ist es schon seit langem bekannt , wie man die Aufgabe auf die Losung eines 

 Systemes linearer Gleichungen zurfickffihren kann, mit anderenWorten, man kennt die Resultante zweier 

 algebraischen Gleichungen unter der Form einer Determinante, deren Grad gleich ist der Summe der Grade 

 der beiden ursprfinglichen Gleichungen. Man sehe unter anderem Hesse's Abhandlung hierfiber im 27sten 



Denkschriften d. mathem.-naturw. CI. IV. Btl. Abhandl. von Nichtmitgliedern 



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