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Bande des Crelle'schen Journals. Fur eine grossere Zalil von Gleichungen ist mir nur von Cay ley ein 

 grossartiger Versuch bekannt, solchc Resultanten unmittelbar aus ihren Elementen zu construiren 1 ). Zu 

 diesem Zwecke denkt sich Cay ley mehrere Gruppen von gleich viel Variabeln und Polynome, welche in 

 Beziehung auf alle Variabeln einer jeden solchen Gruppe homogen und linear sind. Dann construirt er aus 

 den Coeflicienten soldier Polynome, die icli vielschichtig-lineare nennen mochte, gewisse Functioncn, 

 welche sich nach mehreren Seiten hin als ffanze Functionen hoheren Grades von lauter Determinanten der 



— und dann weist 



ursprfinglichen Elemente darstellen lassen — er nennt sie Hyperdeterminanten 

 er an einigenBeispielen nach, wie solche Hyperdeterminanten in Resultanten gevvohnlicher (ungeschichteter. 

 symmetrischer nach Cayley's Ausdruck) Polynome hoheren Grades fibergehen, wenn man je die 

 gleichnamigen Variabeln aller jener Gruppen oder Schichten einander gleich setzt. Wenn aber dort Cayley 

 ferner es als sich von selbst verstehend anzunehmen scheint, dass die Resultante der abgeleiteten Gleichungen 

 eines vielschichtig-linearen Polynoms von demselben Grade sei mil derjenigen des vollstandigen gewohn- 

 lichen Polynoms von derselben Dimension, und dass daher jene Resultante durch die dem symmetrischen 

 Fall entsprechenden Annahmen in diese tibergefuhrt werde , so ist dieses sicher ein Irrthum , wie im Ver- 



lauf dieser Abhandlung wird gezeigt werden. 



Es ist mir nun zwar keineswegs gelungen , die Endgleichung irgend eines Systemes algebraischer 

 Gleichungen auf indep endente Weise zu construiren, namentlich — worauf es hier allein ankommt, denn 

 die einzelnen Glieder selbst konnen schon a priori aus den ursprunglichen Elementen combinirt werden — 

 den numerischen Coeflicienten jedes einzelnen Gliedes der Resultante fur sich zu berechnen. Sondern das 

 hier zu beschreibende Eliminationsverfahren ist audi successiv wie die gewohnlichen, hat aber vor diescn 

 das voraus , dass es auf keiner Stufe die Rechnung mit fremden Factoren trfibt, sondern auf ganz sicherem 

 Wege zu der reinen Endgleichung fiihrt , welche geradc nur dem aufgegebenen Systeme entspricht. Es 

 werden dann ferner mehrere allgemeine Satze fiber die Resultante bewiesen, welche denen fiber die Deter- 

 minate analog sind, die Jacobi im 22sten Bande des Crelle'schen Journals bekannt gemacht hat. Dann 

 wird der schon von Cayley behandelte Fall eines vierschichtiglinearen Polynoms mitje zwei Variabeln noch 

 einmal vorgenommen und die Resultante seiner acht abgeleiteten Gleichungen einer genauen Untersuchung 

 unterworfen. Endlich behandle ich einen merkwfirdigen Fall der Elimination , aus dem, wenn die Zahl der 

 Variabeln auf drei oder vier beschrankt wird , ein sehr directes Verfahren folgt , die Schar aller Tangenten 

 einer algebraischen Curve oder die Schar aller Berfihrungsebenen einer algebraischen Flache durch eine 

 Gleichung darzustellen , in welcher nur die drei oder vier Coefficienten der linearen Gleichung einer Tan- 

 gente oder einer Berfihrungsebene — die von P lfi ck er im Gegensatze der gewohnlichen oder Punkt- 

 coordinaten so geheissenen Linien- oder Flachencoordinaten — als Variabeln auftreten. 



Da der Gegenstand dieser Abhandlung mit der Theorie der Determinanten in nachster Beziehung steht, 

 so moge am Ende derselben ein durch seine grosse Allgemeinheit merkwfirdiger Satz fiber eine Deter- 

 minante, deren Elemente aus mi einfachen Elementen zur m ten Classe combinirt sind , einen Platz finden. 



§. 1. Erklarungen. Die Determinanten werde ich so bezeichnen, wie es Cayley thut. Das Zeichen 



a . b . c . d 

 a . V . c . d' 



~/f U 1 J' A 



a .o . c •a 



d 



!/ 



a 



"' . b"' . c" 



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z. B. stellt die aus den 16 hingeschriebenen Elementen gebildete Determinante A dar. Werden die in der 

 vom linken Ende der obcrsten Horizontalzeile ausgehenden Diagonale liegenden Elemente zu dem Producte 

 abed'' vereinigt, so soil dieses Glied in der entwickelten Determinante immer das positive Vorzeichen 

 haben. Urn alle ubrigen Glieder zu erhalten , hat man nur die Verticalzeilen des Schemas zu permutiren 



!) Crelle XXX, S. t. 



