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Beitrag zur Theorie der Elimination. 



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und das Product der jedes Mai in die Diagonale fallenden Elemente mit dem positiven oder negativen Vor- 

 zeichen zu versehen, je nachdem die Permutation selbst eine positive oder negative ist. Das Aggregat aller 

 so erhaltenen Producte ist die Determinante A. Jedes Mai, wenn nur zwei Verticalzeilen mit einander ver- 

 tauscht werden, geht eine positive Permutation in eine negative fiber, und umgekehrt. 



Werden in der entwickelten Determinante alle Glieder , welche irgend ein bestimmtes Element zum 

 Factor haben, zu einer Gruppe vereinigt, und dann der gemeinschaftliche Factor weggelassen, so nenne ich 

 das Ergebniss das reciproke Element zu jenem urspriinglicben. So ist z. B. ^ das reciproke Element 



'. Lasst man im Schema aller Elemente die in einem derselben sich kreuzenden Zeilen weg, so ist 



die Determinante der ubrigen Elemente gleicb oder entgegengesetzt dem reciproken Elemente des Kreu- 

 zungspunktes, je nachdem die Rangzahlen der weggelassenen Zeilen einen geraden oder ungeraden Unter- 



schied haben. 



In dem Schema 



zu b 



a . 



b 



c . d 



a . 



b' 



c . d' 



a". 



V 



c". &' 



sollen immer zu beiden Seiten des mittelsten Striches gleichviel Verticalzeilen sein. Multiplied man nun 

 alle Elemente irgend einer Verticalzeile der linken Halfte mit den entsprechenden Elementen irgend einer 

 Verticalzeile der rechten Halfte und addirt alle Producte , so ordnen sich die Productensummen auf natur- 

 liche Weise in der Form eines Quadrates, dessen Seite so viele Glieder zahlt, als jede Halfte des obigen 

 Schemas Verticalzeilen. Die Determinante der so geordneten Productensummen soil 

 kiinftig durch obiges Schema dargestellt werden. Es ist also z. B. 



II Jf 



ac-\-dc -\- a'c 



a 



U Iff 



d + dd' + a"d 



ft Iff 



bc + jv + b"c" .bd-\-b'd+ b'd 



und nach einem bekannten Satze 



a . b 

 a . b' 



a", b 



a 



c . d 

 e.d f 



c". d 



if 



a . b 



9 



c . d 



+ 



a . b 



• 



c . d 



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a'.V 



• 



c . d' 



a . b' 





c .d f 





a . b 





if in 

 c . a 





a", b" 





c". d" 



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■ 



Da wir meist nur homogene Functionen der Variabeln betrachten werden , so soli in der Regel das 



Wort „Polynom" ein homogenes Polynom bezeichnen. 



Wort 



storende Verwechslungen verursachen konnte , so sollen die Coefficienten der verschiedenen Glieder eines 



Polynoms kurzweg die Elemente desselben heissen. 



Den gewohnlichen Ausdruck „Potenzen und Producte der Variabeln" werden wir durch den kurzeren 

 „Variabeln-Combinationen" ersetzen. Es sind dann naturlich Combinationen mit Wiederholungen 



gemeint. 



Im Allgemeinen denken wir uns jedes Glied eines Polynoms immer als Product eines Elementes mit 



der entsprechenden Variabeln-Combination. Die Permutationszahl dieser Combination soil nicht als 

 numerischer Factor hinzugedacht werden, wenn dies nicht ausdriicklich bemerkt wird. 



Die Exponenten , welche die einzelnen Variabeln in irgend einer Combination haben , heissen die 

 Zeiger des entsprechenden Elementes. Zeiger verschiedener Elemente, welche sich auf eine und dieselbe 

 Variable beziehen, sollen gleichn ami ge Zeiger heissen. 



Liegt ein System mehrerer Gleichungen vor, so konnen wir diese ihrem Range nach unterscheiden. 

 Elemente irgend eines Ranges werden daher solche sein , die in irgend einer und derselben Gleichung 

 vorkommen. Die Elemente aller Gleichungen zusammen sollen Elemente des Systemes heissen. 



a 





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