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4 Schlafli. 



Besteht ein System aus eben so vielen homogcnen Gleichungen als Variabeln sind, so kann man die 



Verhaltnisse dieser Variabeln sich eliminirt denken; die ganze und rationale Endgleichung wird eine 



Relation zwischen alien Elementen des Systemes ausdriieken. Wenn nun immer beim Stattliaben dieser 



Relation audi die Verhaltnisse der Variabeln so bestimmt werden konnen , dass alle urspriinglichen Glei- 



chungen des Systemes erfullt sind , und wenn umgekehrt alle diese Gleichungen nicht anders befriedigt 



werden konnen, als indem zugleieh jene Endgleichung befriedigt wird, so soil das Polynom derselben die 



Re sultan te des Systemes heissen und als ganze rationale Function seiner wieder frei gedachten Elemente 

 aufgefasst werden. 



Es braucht wohl kaum bcmerkt zu werden, dass nie das Verschwinden sammtlicher Variabeln als 

 Losung eines Systemes bomogener Gleichungen gelten darf. 



Kann die Endgleichung verschwinden, ohne dass es zugleieh Verhaltnisse der Variabeln gibt, welche 

 das ganze System befriedigen, so hat ihr Polynom einen fremden Factor. Kann umgekehrt das ganze 

 System befriedigt werden, ohne dass dies audi mit der Endgleichung geschieht, so fehlt in ihrem Polynom 

 ein in der Resultante vorkommender Factor. 



Die gegebene Definition wird ungenugend , wenn entweder das Polynom der Endgleichung oder die 

 wahre Resultante potenzirte Factoren haben. So viel ist indess sicher, dass wenn beim Verschwinden 

 irgend einer untheilbaren ganzen Function der Elemente das ganze System durch verschiedenc Reihen von 

 Verhaltnissen der Variabeln befriedigt wird, die Resultante jene ganze Function wenigstens eben so oft als 

 Factor enthalten muss.. 



Die genannten Schwierigkeiten fallen weg, wenn alle Gleichungen des Systemes v oils tan dig sind, 

 d. h., wenn in jeder alle ihrem Grade entsprechenden Combinationen sammtlicher Variabeln vorkommen, 

 und wenn alle Elemente als lauter einfache und unter sich unabhangige Grossen gelten. In diesem Falle 

 nehmen wir die Untheilbarkeit der Resultante als Grundsatz an. 



Wenn die Zahl der Variabeln diejenige der homogenen Gleichungen eines Systemes urn 1 ubertrifft, 

 so bleiben die Elemente frei, und nur die Verhaltnisse der Variabeln werden bestimmt. Jede so bestimmte 

 Reihe gleichzeitiger Werthc aller Variabeln — es kommt begreiflich nur auf ihre Verhaltnisse an — 



nennen 



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besteht, heissen Wurzeln. Wir wollen die verschiedenen Losungen des Systemes durch A cccnte unter- 

 scheiden. Wurzeln sind dahcr g\ eichacccntig, wenn sie zu einer und derselben Wurzelgruppe ge- 

 horen, gleichnamig, wenn sie in verschiedenen Losungen Werthe einer und derselben Variabeln sind. 

 Wird cine Function der Wurzeln eines Systemes durch Permutation der Wurzelgruppen (der Accente) 

 nicht geiindert, so heisst sie cine symmetrische Function. (Wir werden nur ganze Functionen dieser 

 Art betrachten.) Gehen aus einem einzigen Gliede derselben durch blosse Permutation der Accente alle 

 flbrigen hervor , so heisst sie e i n f a c h. 



Da nur die Verhaltnisse aller gleichaccentigen Wurzeln bestimmt sind , so muss jedes Glied einer 

 symmetrischen Function in Beziehung auf jeden Accent von derselben Dimension sein , d. h. es muss aus 

 jeder Gruppe gleich viel Wurzeln zu Factoren haben. Ist nun die Dimension in Beziehung auf jeden Accent 

 der Einheit gleich, so heisst die symmetrische Function primitiv. 



Wenn sammtliche Losungen des Systemes fur eine bestimmte Variable keinen einzigen verschwin- 

 denden Werth geben , so durfen wir die entsprechenden Wurzeln alle gleich 1 setzen. Dann werden in 

 irgend einem Gliede einer einfachen symmetrischen Function nicht mehr alle Accente vorkommen. Nach 

 der Anzahl der in einem Gliede vorhandenen Accente nennen wir dann die Function ein-, zwei-, drei- 

 accentig u. s. f. In einer Gleichung mit einer Unbekannten z. B. sind die Summen der Potenzen der 

 Wurzeln einaccentige, die Summen der Combinationen ohne Wiederholung primitive Functionen. 



Setzen wir eine beliebige Reihe von Variabeln-Combinationen desselben Grades bin, welche nicht 

 siimmtlich durch eine und dieselbe Variable dividirt werden konnen, und multipliciren nun diese Grundreibc 





