.4 







die 

 sine 



lei. 

 digt 



i die 



^ d* 



s 



pnze 

 jrnom 



oder die 



Iwinden 

 lien v 



von 



» oft als 





igsy, 



ouiinen 



m Fall 



e 



lertrifft, 



Anmte 

 nennen 

 Gruppe 

 e enter- 



Bin sind. 

 iccente) 

 n dieser 

 nte alle 



i einer 

 rass aus 

 i Accent 



■scliwin- 



rden in 



, Nach 



drei- 



zen dcr 



j 



i 



nicht 



dreiie 



» 



Beilrac/ zur Theorie der Elimination. 



5 



nach und nach mit einzelnen Variabeln-Combinationen , welche durchaus nicht vom selben Grade zu sein 

 brauchen, so mogen die neuen so gebildeten Reihen aquidistante Variabeln-Combinationen heissen. 



§.2. Wenn n hohere algebraische Gleichungen mit n Unbekannten gegeben sind, und man wollte 

 eine dieser Unbekannten aus je zwei Gleichungen eliminiren, indem man z. B. die erste mit alien iibrigen 

 combinirte , um so n — 1 Gleichungen mit n — 1 Unbekannten zu erhalten , so wiirde im Allgemeinen der 

 Grad jeder Gleichung des neuen Systemes gleich sein dem Producte der Grade der beiden ursprunglichen 

 Gleichungen , aus deren Combination jcne Gleichung hervorgegangen ist. Denkt man sich ein solches Ver- 

 fahren wiederholt, so sieht man, dass die Grade der Gleichungen etwa wie Potenzen steigen , deren Expo- 



nenten in der geometrischen Reihe 1, 2, 4, 8, fortgehen. Abgesehen davon, dass fur eine auch nur 



miissige Anzahl quadratischer Gleichungen die Ausfuhrung eines solchen Eliminationsverfahrens mchr Zeit 

 als die eines Menschenlebens erforderte, ist dabei nicht einmal theoretischer Gewinn, weil man die Zahl 

 sammtlicher Losungen des Systemes ungeheuer iibcrschatzen wurde. Wenn nun auch das sogleich zu zei- 

 gende Verfahren immer noch sehr bald unausfiihrbar wird wegen der abschreckenden Lange seiner Ent- 

 wickelungen , so fuhrt uns doch die Vorstellung von seiner Moglichkeit zu der deutlichen Erkenntniss von 



der Zahl der Losungen , die das System wirklich hat. 



Das Verfahren ist ein successives und demj enigen analog , durch welches bei zwei algebraischen Glei- 

 chungen die Elimination mit Hulfe der Theorie der symmetrischen Functionen gescbieht. Die Hauptsache. 

 auf die es dabei ankommt , wird in der Losung der folgenden Aufgabe deutlich werden. 



Es seien x, y, z, . . . w die n -f 1 Variabcln des gegebenen Systemes von » homogenen Gleichungen. 

 Man setze nun eine lineare Gleichung mit litteralen Coefficienten , wie 



ax + by + cz + . . . + kw 



o 



% 



hinzu. Die Resultante des so vermehrten Systemes sei bekannt. Man soil jede einfache symme- 

 trische Function der Wurzelgruppen des ursprunglichen Systemes rational durch 



seine Elemente ausdriicken. 



Man ordne die Resultante nach den fallenden Potenzen eines der Elemente jener beigefugten linearen 



Gleichung , z. B. nach denen von k, und es sei 



was der allgemeine Fall ist 



eine Potenz von k vor- 



handen, deren Exponent dem Grade gleich ist, den die Resultante in Beziehung auf alle Elemente a, b,c,...k 

 iiberhaupt hat; ihr Coefficient heisse K Dann sind alle folgenden Coefficienten der Potenzen von k resp. 

 die mit K multiplicirten Summen der Combinational (ohne W.) erster, zweiter, dritter , . . . Classe der 



Werthe von 



ax 4- by + cz -f- • • • 



w 



welche das ursprungliche System liefert. Aus diesen konnen alle Potenzensummen 



*(• 



ax -f by + cz + . . . 



IV 



jener Werthe berechnet werden. Mit der entsprechenden Potenz von K multiplicirt , werden sie als ganze 

 Functionen der Elemente des Systemes erscheinen. Man entwickle diese nach den Combinationen der 

 Hulfselemente a, b, c, . . ., so wird man durch Vergleichung der Multiplicatoren irgend einer Combination 



Werth 



1 



o?« 2/P »T . • • 



«?«+P+T+ • • 



— > 



erhalten. Aus diesen einaccentigen Functionen konnen aber alle vielaccentigen , wie 



2. 



ar« wU «T . . . *'«' tfP »'T' • • • *"«" y"t" *"*<" - • • 



^a+p-fT 



* * 



w'«'-f-fN-... 



IV 



n 



a"+p"+ • • 



• • • ♦ 9 



• i 



1 I 





• 





. 















I 



■ 









^ 



, 



1 





» 



*-i 







« 



!)■ 





* 



1 







\ 



In; 



I 







I ' 





(I 



\ 





I 



I 



\\ 





^•v. 



■>-«j ■- 



