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1). 











* 



Beitrag zur Theorie der Elimination. 



7 



Darstellungen fur eine und dieselbe gegebene symmetrische Function Mannigfaltigkeit stattfinden, da die 

 primitiven Functionen nicht unter sich unabhangig -, sondern durch viele identische Relationen verbunden 

 sind. Wenn z. B. nur zwei Wurzelgruppen sind , so ist folgendes eine solche Relation : 



(xy + x'y) (xz'+x'z) (yz 1 + y' z) — xx' (yz f -\-yzf — yy'{xz' '-\-x' zf — zz' (xy'+x' yf 



+ kxx'yy' zz = 0. 



Es ist von Wichtigkeit, die niedrigste Potenz von K zu kennen, mit der man den auf die beschriebene 

 Weise erhaltenen Ausdruck fiir die symmetrische Function 



y xa i/P »T 



• * 



l(?a-f-P+T+- •• 



X 



ar'«' y'P %'r' . . 

 to'a'+P'+Y'.-. 



X • • • X 



multipliciren muss, urn ihn ganz zu machen. Man vergleiche alle Summen von zur selben Gruppe gehorenden 

 Exponenten a -f (3 + y -f ..., a-f p'-f T '+...^"+p"-ff+... ) etc. , so wird gewiss eine darunter 

 von keiner der iibrigen ubertroffen werden. Es sei dies z. B. die erste a + (3 + y + . . . = a, so ist K° der 

 Multiplicator , der diese symmetrische Function ganz macht. 



* 



Urn dies zu beweisen, multiplicire man die symmetrische Function mit (ww'w'w". . .)% wo das ein- 

 geklammerte Product sich auf alle Wurzelgruppen erstreckt. Ist dann a'-f ft -\- f + . . . + x' = a" + j3"-f- . . . 



+ *" 



a , so erhalt man die symmetrische Function 



2 x« / «t . . . w * x ^ y P' z <t . . ^ x tf* y «r m t # 



w 



// x " 



X • • • • ? 



wo in jedem Gliede alle Accente zugleich vorkommen. Bezeichnen wir nun den Grad der Resultante in 

 Beziehung auf a, b, c, . . .k, oder, was dasselbe ist, die Zahl der Wurzelgruppen mit;? und die Coeffi- 

 cienten von d!\ k p mit A, K, so ist xx'x' ( . . . : w w ' w" . . . = A: K. Wiirde nun die betrachtete symme- 

 trische Function erst durch Multiplication mit K a+e ganz gemacht , so hatte der Ausdruck fur 



y 



X 



)' & 



• • • 



(~r x af &r- ■ ■ tf r x • • • • 



Wenn 



gleiche Verfahren wie vorhin befolgt, so wird man zu einem Ausdruck gelangen, der nur eine Potenz von A 

 zum Nenner haben kann. Folglich muss s === o sein. 



Wird jetzt die lineare Gleichung ax+ by-\-. . .-\-kw = o durch irgend eine hohere Gleichung vom 

 Grade m, z. B. cp (x, y, z 9 . . • w) = o ersetzt, so hat man fur die Resultante des so veranderten Systemes 

 den Ausdruck 



jrm 9 to y> - • • w ) m ? to'> y',->- w') <? {x", y", . . . w") 



w m ' w' m ' iv //m 



. . ., 



Wurzelg 



erstreckt. 



w, x : y : z : 



• • 



: w', x" I y" ; # . • to", etc 



§. 3. Aus dem Bisherigen fliesst nun folgendes Eliminationsverfahren. 



m 2? m 3 , . . . m n gegeben: 



+ 



von den Graden m i9 



Ti (x, y, • • • «0 = % % 



5 <?3 







% 



0. 



Man setze n lineare Gleichungen hin 



p == ax -f- by + cz . . . . -f- kw = o, p t = «!# + . . . + k t w = o, p 2 



Of • • • • 



Pn-l 







und vereinige sie mit cp M = o zu einem Systeme. Die Resultante desselben wird man erhalten , wenn man 



Werthe 



Beziehung auf jede Elementenreihe (a, b, c, . . . K) vom m n Un und in Beziehung auf die Elemente von o n 



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