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Schlafli. 



vom ersten Grade sein. Man ordne sie nach den Combinationen von # n _ I9 6„_ t , . . . k n _^ so hat man die 

 primitiven Functionen der m n Wurzelgruppen des Systemes 



P = o, Pi 



0, . . . . p w _ 2 



o, <p» 







vor Augen und ist mittelst derselben in Stand gesetzt , die Resultante des Systemes 



P = o, Pj 



o 



• • 



p n _ 2 = o, cp n _ t = o, cp n 



o 



zu berechnen. Diese ist in Beziehung auf die Elemente von cp n-1 vom Grade m n und in Beziehung auf die 

 Elemente der iibrigen Polynome von einem m n _ x Mai hoheren Grade als die vorige Resultante 9 also in Be- 

 ziehung auf die Elemente eines jeden der linearen Polynome p, p t , . . . p„_ 2 vom Grade m n _ t m„ und in 

 Beziehung auf die Elemente von cp n vom Grade m n _ v Man ordne nun diese Resultante nach den Combi- 

 nationen von « n _ 2 ? #n-2> • • • k n -2> urn die Verhaltnisse der primitiven Functionen der Wurzelgruppen des 

 Systemes 



P = o 9 9t = o, p 2 



o 



c • 



p„_3 = 0, Cp„_ 1 = 0, Cp„ 







vor Augen zu haben, und berechne mittelst derselben die zusammengesetzte symmetrische Function Hcp^-, 

 {x, y, . . . w), wo das Product sich auf alle m n _ x m„ Wurzelgruppen erstreckt. Das Resultat, die Resul- 

 tante des Systemes 



9 



o, Pi 



o, 9i 



o 



Pn-3 = 0, Cf„_ 2 = 0, Cp w-1 = 0, Cp„ 







wird in Beziehung auf die Elemente von cp rt _ 2 vom Grade m n _ x m n und in Beziehung auf die primitiven 

 Functionen vom Grade m n _ z sein , also in Beziehung auf die Elemente eines jeden der linearen Polynome p 

 vom Grade m n _ 2 m rt _ t m n , in Beziehung auf die Elemente von cp n _ t vom Grade m n _ 2 m n und in Beziehung 

 auf die Elemente von cp n vom Grade m n _ 2 m n _ x . Wenn man weiter so verfahrt , so gelangt man zuletzt zur 

 Resultante u des Systemes 



P = o, cpi = o, <?z 



o 



• * 



'?« = o, 



welche in Beziehung auf die Elemente a, b, c, . . . k des linearen Polynoms p und auf diejenigen der 

 iibrigen Polynome ?i / • '» • ?* resp. von den Graden ;; = m x m> m :) 



?n D ,-r 



mi r%% 



£- sein wird. 



— * — __ 



Sind endlich die Elemente der Polynome y u cp 2 , . . . <p n numerisch gegeben, so muss die Resultante a 



in Beziehung auf die einzig noch (ibrig gebliebenen litteralen Elemente a, b, c, . . . k in p lineare Facto ren 



zerlegt werden konnen. Diese Aufgabe kommt, wie leicht zu begreifen, auf die Auflosung einer Gleichung 



y/ en Grades mit einer Unbekannten zuriick. Ist die Zerfallung ausgefuhrt, so ist die Reihe der numerischen 



Coeflieienten von a, b , c, ... k in irgend einem linearen Factor 



Systemes der Gleichungen cp t =*= o 9 <p 8 = o, . . . <p„ 



Wur 



Das Verfahren wiirde demnach etwa folgendes sein. Man stelle die Differentialcoeflicienten 



d u 

 da 



(In 



db 



du 

 dk 



dar, ordne die Gleichung u=o nach den fallenden Potenzen eines der Coeflicienten a, b,...k, 



Werth 



d 



• • 



k = o setzen. Man wird dann eine Gleichung p ien Grades fur das noch unbekannte Verhaltniss 



a : b erhalten. 



Werthe 



Werthe in iene n-\-l DifFerentialcoefficienten substituirt, so hat man die n Wur 



X : y : z : . . . : to des Systemes <p t = o, cp 2 = o, . . . cp„ = o gefunden. 



(Anmerkung. Wenn ein homogenes Polynom m tcn Grades cp (x, y, ... to) in m lineare Factoren 

 zerlegt werden kann, so findet man dieselben auf folgende Weise. Es sei x x : y x : . • . io t irgend eine Losung 

 der Gleichung <p = 0, und man substituire diese Werthe der Variabeln in die Differentialcoeflicienten .11. , 

 ll.. , . . £^. so werden die letzteren zu Coefficienten eines linearen Polynoms p 1? welches in cp aufgeht. 



dy dw ' ' to 



Verfahrt man ebenso mit anderen Losungen x 2 : y % : . . . : w 2 , x 3 : 3% : . . . : w% , etc. , so kann man auch 

 andere Polynome p 2 , p 3 , . . . erhalten. Erhielte man aber auf diesem Wege mehr als m verschiedene lineare 





Po 



K 



r 



ffir 



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