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Beitrag zur Theorie der Elimination. 



Polynome, so mfisste man daraus schliessen, dass cp nicht in lauter lineare Factorcn zerlegt werden kann. 

 Urn sicher zu gehen, kann man die Verhaltnisse y : z : . . . : w fur alle Losungen behalten , so wird die nach 

 x aufgeloste Gleichung, cp = o, m Losungen geben, die sich nur durch die Wertlie von x unterscheiden und 

 daher nothwendig versehiedene Polynome p liefern mfissen. Es braucht kaum bemerkt zu werden , dass im 

 Vorigen vorausgesetzt wurde, dass keine zwei linearen Factoren von cp einander gleich sind, und dass keine 

 Losung mehr als einen dieser Factoren verschwinden macht.) 



Unbequem ist es bei dem beschriebenen Verfahren, dass man die von der Reclinung geforderten viel- 

 aceentigen Functionen erst in Functionen der einaccentigen und dann diese in Functionen der primitiven 

 Functionen ausdrficken muss. Dieser Umweg bewirkt,dass man weit hoher potenzirteNennerin dieRechnung 

 bekommt, als der Typus der aufgegebenen symmetrischen Functionen erfordert, und dass man dann die 



weitschichtigen Polynome so lange mit unsaglicher Mfihe reduciren muss , bis die Nenner auf das gehorige 

 Mass herunter gebracht sind. Es ware wichtig zu wissen, ob , wenn die primitiven Functionen durch ein- 

 fache Zeichen bezeichnet sind, die besprochene Reduction ausgefuhrt werden kann. ohne dass man die 

 mannigfaltigen Relationen, welche jene primitiven Functionen verknfipfen, zu Hfilfe nimmt. Freilich, wenn 

 fur die primitiven symmetrischen Functionen ihre entwickelten Ausdrticke gesetzt werden , so werden diese 

 in identischer Weise alien jenen Relationen geniigen, und die angeregte Schwierigkeit fallt ganzlich weg. 

 Um den Umweg unseres Verfahrens zu vermeiden , sollte man die geforderten vielaccentigen Functionen 

 unmittelbar in Functionen der primitiven darstellen konnen, wie es fur dieWurzeln einer einzigen algebrai- 

 schen Gleichung Gauss gczeigt hat in seiner Abhandlung: Demomtratio nova altera theorematis omnem 

 functionem algebraicam rationalem integram imius variabilis in f adores reales primi vel secundi gradus 

 resolvi posse. (Comment, d. Gott. Ak. 181(>.) 



§. 4. He sse hat in seiner schonen Abhandlung fiber die Resultante von drei quadratischen Gleichungen 

 (Crelle XXVIII, S. 71) auch im Vorbcigehen fiber das Eliminationsverfahren im Allgemeinen sich aus- 

 gesprochen. Dasselbe wfirde in Folgendem bestehen. 



Angenommen, die Resultante u des Systemcsp = ax -\- by . . . -\- kw 

 sei bekannt und in Reziehung auf a, b, . . . k homogen und vom p ten Grade, so soil man mittelst derselben 

 die Resultante £7 ernes neuen Systemes finden, worin nur jene erste lineare Gleichung p = o durch eine 

 cp = ovom m ten Grade ersetzt ist. Wir wollen die p verschiedenen Wurzelgruppen des Systemes der 

 n Gleichungen cp t = o, . . . cp n = o und die ihnen entsprechenden Werthe von p durch fibergesetzte Zeiger 



12 3 



P 1 



ppp . . . p, wo z. B. p 



ii i 



ax-\- by +- . . . -f- kw. Nach 



1, 2, 3, . . . p unterscheiden. Dann ist u 



Hesse haben wir uns nun m versehiedene Gruppen der Coefficienten a, b, c, . . . k zu denken, die wir 



sammt den entsprechenden Ausdrficken ffir p und n durch die untergesetzten Zeiger 1, 2, 3, ... m unter- 



12 3 p 



scheiden wollen, so dass z. B. p t = a ± x + b t y . . . + k^w und u t = piPiPi . . . Pi wird. Dann sollten 

 wir beide Seiten der Gleichung 



tf j tf^ v£q 



• « 



u 



m 



1 1 



PlP2 



• • • 



12 2 2 p p 



Pm X Pi h • * • Pm X • • • X Pi P: 



. . 



m 



k m entwickeln und die 



nach den Combinationen der m(n + l) Grossen a i9 b i9 . . . k 19 . . . a m9 6 m , . . . 



Multiplicatoren derselben Combinationen auf beiden Seiten einander gleich setzen, so wfirden wir die 



Werthe aller der symmetrischen Functionen erhalten , deren Kenntniss uns zur Rerechnung der Formel 



f7 = ricp(^,y, z, 



• 



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v) 



1 2 



epep 



• • 



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wo das Product sich fiber alle p Wurzelgruppen erstreckt, nothig ware. 



Wir wollen die Ausffihrbarkeit dieser Vorschrift naher untersuchen. Das Product [j x p 2 . . . p m liefert 



uns primitive Combinationen der Grossen a i9 b i9 . . . k m , wo jede der m Gruppen immer nur durch eine 



einzige Grosse reprasentirt ist. Isoliren wir eine dieser primitiven Combinationen und nennen sie A. 



1 111 



Dieselbe wird mit einer Combination P der Wurzeln x 9 y , . . . w der ersten Gruppe multiplicirt sein, 



Denkschriften d. matbem.-naturw. 01. IV. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgl. b 



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A 





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