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10 



Schlafl i . 





p p 



J Plp2 



P 

 P«n- 



wclche nur von den Namen a, b , . . . A: tier Factoren von /I, aber nicht von ihren untergesetzten Zeigern 

 abhangt. Ebenso seien B Q , . . . , C R einzelne Glieder der entwickelten Specialproducte p,p 2 . , . p m , 



1 2 p 



Dann wird AB . . . C X P Q . . . R ein Glied des totalen Productes aller 



12 p 



m(n -\- 1) Formen von p sein. Vertauschen wir nun in der Combination P Q ... 71 die oberen auf die 

 ^Wurzelgruppen beziiglichen Zeiger, so erhalten wir 



AB . . . CX^P Q • • • R 



i 



2 



als Glied des totalen Productes aller Formen von p, und die symmetrische Function 2 P Q . . . R ist es 

 gerade , deren Kenntniss wir zur Berechnung von U bediirfen. Aber leider erhalten wir dieselbe in der 

 vollstandigen Entwickelung von lip nicht isolirt; sondern , da die totale Combination J = AB . . . C auf 

 verschiedene Weisen in p primitive Combinationen von der Form A zerlegt werden kann , so wird in der 

 Entwickelung des genannten Totalproductes lip die Combination 



J = a? ft?' . . . k\> X «?*§■ ... ^ X ... X (Cbt • . . K 



in 



m 



[«1 + Pi -h • • « + X l = a 2 + ^2 + • • • + *2 



• • 



a m + Pm+ ...+•> 



m 



;>] 



12 p 



mit einem Aggregate verschiedener symmetrischer Functionen von der Form 2jP . . . li multiplicirt 

 erscheinen. Die vergleichende Entwickelung des Productes u x u % . . . w m wird uns daher keineswegs zur 



12 P 



nothigen Kenntniss der einzelnen symmetrischen Function %PQ . . . R fiihren. 



Versuchen wir diesem Uebelstande zu begegnen, indem wir in der Combination A die unteren Zeiger 



1, 2, . . . m auf alle moglichen Arten vertauschen, so werden alle so erhaltenen Combinationen A mit der 



1 

 namlichen zur ersten Gruppe gehorenden Wurzelcombination P multiplicirt sein. Wir erhalten demnach 



i . ... . ill 



H^X ^ a ' s Glied des Specialproductes p t p z . . . p m , wo S^Leine primitive symmetrische Function 



2 P 



aller Coefficientengruppcn der m linearen Polynome p bezeichnet. Wenn nun SjBXC^? • • • • ? SCX'J 

 audi solche Glieder der iibrigen Specialproducte p t p 2 . . . p m ,...., p t p a ... p m bezeichnen 9 und wir 

 nach geschehener Multiplication aller dieser p Glieder die oberen Zeiger permutiren, so werden wir 



2.4. ZB ICX^PQ 



p 

 . R 



als Glied des Totalproductes Flp bekommen. Konnten wir dann auf eine sichere einzige Weise jede in der 

 Entwickelung des Productes u t tf 2 . . . u m vorkommende symmetrische Function 2«/in ein Aggregat von 

 Producten primitiver symmetrischer Functionen, wie 2 A , zerlegen , so ware dann in der That die Aufgabe 

 gelost ; ja wir konnten geradezu die primitiven symmetrischen Functionen der linearen Elemente durch die 

 entsprechenden Coefficienten des hoheren Polynoms cp ersetzen , um sogleich das Product u { u % . . . u m in 

 die gesuchte Resultante U iiberzufiihren , ohne dass wir erst noch den Ausdruck fiir jede einzelne symme- 



12 P 



trische Wurzelfunction ^PQ . . . R zu ermitteln brauchten. 



Aber auf diesem Wege tritt uns die Unsicherheit jenerZerfallung von 2t/ hemmend entgegen,welche 

 ihren Grund in der gegenseitigen Abhangigkeit der primitiven Functionen 2.4 hat, und wir gestehen, dass 

 w r ir hier einstweilen noch keinen Ausweg wissen. 



■ 



§. 5. Bevor wir weiter gehen , fassen wir hier die Eigenschaften der Resultante, die unmittelbar aus 

 dem Obigen folgen, kurz zusammen. 



1. Die Resultante ist in Beziehung auf alle Elemente einer und derselben 

 ursp rungliehen Gleichung homogen und von einem Grade, welcher gleich ist dem 

 Product der Grade aller iibrigen Gleichungen. 



2. Die Sum me der gleichnamigen Zeiger aller Elemente, aus den en irgend ein 

 Glied der Resultante zusammengesetzt ist, ist immer gleich dem Producte der 













so 



der 



die 



atfa 



1 



