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Beitrag zur Theorie der Elimination. 



Grade aller Gleichungen des Systcmes, auf welche Variable sich diese Zeiger auch 

 beziehen miigen. 



Denn , wenn man im gegebenen Systeme a a; an die Stelle von x setzt , so erscheinen alle friiheren 

 Elemente jetzt mit einer Potenz von a multiplicirt , deren Exponent ihrem auf x beziiglichen Zeiger gleich 

 ist. Hierdurch darf aber die Form der Resultante u nicht geandert werden , sie wird nur eine Potenz von a 

 zum Factor bekommen. Fiir die ubrigen Variabeln gilt das Gleiche. Der Exponent dieser Potenz wird 



P 



P 



Setzen wir jetzt a = (3 == y 



Bezeichnen wir ihn mit p, 



a • 



so werden alle 



Elemente irgend einer ursprunglichen Gleichung eine ihrem Grade entsprechende Potenz von a zum Factor 

 bekommen , und da der Grad der Resultante in Beziehung auf diese Elementenreihe gleich ist dem Producte 

 der Grade aller ubrigen Gleichungen, so bringt diese einzige Gleichung des Systemes eine Potenz von a, 

 deren Exponent dem Producte der Grade sammtlicher ursprunglichen Gleichungen gleich ist , als Factor 

 von u mit sich. Der totale Factor ist also eine Potenz von a , deren Exponent gleich ist dem Producte der 

 Anzahl aller Gleichungen mit dem Producte ihrer Grade. Folglich ist jener Exponent p gleich diesem 

 Producte aller Grade. . 



3. Wenn in der Resultante nur die Elemente irgend einer ursprunglichen Glei- 

 chung litteral bleiben, alle ubrigen aber numerisch angenommen werden, so kann 

 die Resultante in lauter lineare Factoren zerlegt werden. 



4. Bezeichnet U die Resultante eines Systemes, dessen erste Gleichung <p 



zerfallbar ist, so dass f=fff" . . . , und sind dann V, V, V" , ... die Resultanten 



der Systeme, welche sich vom vorigen nur dadurch unterscheiden, dass sie statt 



? 



f 



f 



f" 



o, . . . zur ersten Gleichung* haben, so ist 



J7= VV'V" 



Einen Beweis halte ich fiir iiberflussig. 



Bemerkung. Wenn auch nur zwei ursprungliche Polynome einen gemeinsehaftlichen Factor haben, 

 so ist die Resultante mit Null identisch. 



5. Es sei ein System von n+ 1 Gleichungen cp = o 



<?! = o, . . . cp n = o zwischen den n -f 1 Varia- 

 beln x, y, z, . . . gegeben, resp. von den Graden m, m 19 f%, . . . . m n . Im Polynom cp sei a der Coeffi- 

 cient von x m und m^m % . . . m n = (x. Dann ist ^ die hochste Potenz von «, welche in der Resultante u 

 des Systemes vorkommt. Das Aggregat aller durch o^ theilbaren Glieder sei of A, so 

 ist A die m u Potenz der Resultante der Gleichungen y t = o, y 2 = o, . . . 

 darin x = o gesetzt wird. 



Der Beweis ist leicht zu fiihren. In den durch a? theilbaren Gliedern konnen ausserdem keine 

 Elemente des Polynoms cp mehr vorkommen, weil [x der Grad ist, den u in Beziehung auf alle diese Elemente 

 hat. Das Aggregat a? A andert sich also nicht, wenn wir cp = ax m setzen. Vereinigt man aber die lineare 



cp n = o , wenn 



Gleichung x = o mit den Gleichungen cp 



o, <p 2 



o, 



cp n = o zu einem Systeme, dessen Resultante 



X heissen mogc, so gilt die Gleichung cp = o als eine mfache Wiederholung jener linearen Gleichung, und 

 wenn sie dieselbe im Systeme ersetzt, so wird die Resultante a v 'X m . Folglich ist A = X m . 



6. Es sei ein Polynom cp (x , y, z 9 . . .) mit n Variabeln und vom m ien Grade gegeben, ?7dieResul- 



o, etc. 1 ). Dann wird (7 in Beziehung auf 

 Grade, also in Beziehung auf die Elemente 



rfcp 

 dy 







d cp 



lien 



tante der n abgeleiteten Gleichungen -li. = o , 



die Elemente einer jeden dieser Gleichungen vom (m — l) n 



des ursprunglichen Polynoms vom n (m — lj n ~ lten Grade sein. 



Werden die Zeiger der Elemente nach ihrer Stellung im Polynome cp bestimmt , so sind in *l. alle 

 auf x beziiglichen Zeiger urn 1 hoher, als wenn sie nach ihrer Stellung in diesem abgeleiteten Polynome 



*) Wir wollen diese kiinftig einfach die Resultante des Polynoms cp heissen. 



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