









p 





12 



S chid fit. 



bestimmt waren u. s. f. Da nun £7 nach der im allgemeinen Falle gttltigcn Schatzung in Beziehung auf 

 die Coefficienten von -£ vom (m — l) n - lten Grade ist, so hat man noch eben so viele Einheiten der Zahl 

 (m — iy beizulugen /welche nach jener allgemeinen Schatzung die Summe der auf x bezuglichen Zeiger 

 in V ausmachen wiirde. Also ist in jedem Gliede der Resultante U die Summe der 



gleichnamigen Zeiger m (m — l) n . 



§.6. Die nach den Elementen einer und derselben ursprunglic hen Gleichung 

 genommenen Differential-Co efficien ten der Resultante sind mit den entsprechen- 

 den Combinationen der Variabeln proportional. 



B e w e i s. Bezeichnet u die Resultante und variirt man bloss zwei in derselben ursprunglichen Gleichung 

 vorkommende Elemente a und 6, so dass die Endgleichung u = o erfullt bleibt, so wird 



du 



da 



da 



du 



~db 



db 



o 



sem. 



Durch alle iibrigen Gleichungen sind aber die Verhaltnisse der Variabeln schon in Functionen der 

 Elemente dieser Gleichungen bestimmt und mussen daher gleichzeitig mit diesen als constant gedacht 

 werden. Wenn nun p 9 q die mit den Coeflieienten a, b behafteten Variabeln-Combinationen bezeichnen, 

 so dass ap + b c/ zwei Glieder der linken Seite der isolirten ursprunglichen Gleichung sind, so folgt 



nothwendig 



und hieraus 



pda -\- (/db — o 



p : a 



du du 



da ' db 



Die Richtigkeit des ausgesprochenen Satzes ist somit bewiesen. 



Wir konnen uns auch so davon iiberzeugen. Wenn cp (.r , y, . . .) = o die betrachtete urspriingliche 

 Gleichung ist, und cp (1), 9 (2), . . . cp <» resp. die Werthe bezeichnen, welche ihr Polynom annimmt, 

 wenn darin fur x, y , . . . die Wurzelgruppen des Systemes aller iibrigen Gleichungen, x i9 y i9 . . • 5 

 x* y %9 ...;..- ; x^ y^ . . . substituirt werden, so ist 



it 



?0)XO, 



W o Q = cp (2) X ? ( 3 ) X • • • X ?(» gesetzt wurde. Ist es nun der erste Factor, welcher das Verschwin- 

 den von u bewirkt, so dass die Elemente des Polynoms cp der in Beziehung auf dieselben linearen Gleichung 



so ist offenbar 



geniigen, und bezeichnet 8 die vollstandige Differentiation in Beziehung auf alle diese Elemente, 



on 



Q X 8cp(l) = Q X (>8a + qob +- etc.), 



eine Gleichung, die uns den ausgesprochenen Satz unmittelbar vergegenwartigt. 



Bemerkung Gehoren zu einer und derselben Losung der Gleichung u = zwei verschiedene 

 Systeme von Werthen der Verhaltnisse der Variabeln x, y, . . . , so durfen diese nicht durch die Diffe- 

 rential-Coefficienten von u bestimmt sein; also mussen alle diese Differential-Coeflicienten verschwinden. 

 Ein soldier Fall kann unter anderm eintreten, wenn u einen potenzirten Factor hat, und dieser verschwindet. 



Wenn alle abgeleiteten Functionen eines ursprunglichen Polynoms verschwin- 

 den, so sind die nach seinen Elementen genommenen Differential-Coeffi cienten 

 seiner Resultante proportional mit den Variabeln-Combinationen, welche mit den 

 betreffenden Elementen multiplicirt sind. 



Wenn namlich die abgeleiteten Polynome £L , ±L , 9 # . : , . verschwinden , so verschwindet audi das 

 urspriingliche Polynom cp. Differentiirt man dasselbe nach den Elementen a, 6, wenn wiederum wie oben 

 ap + bq zwei seiner Glieder bezeichnen, und beachtet, dass die abgeleiteten Polynome verschwinden, so 





Isi 



se 



am 

 Eli 



re; 



an 



Fu 



\ 



D 



a 



elii 



? 



a 



en 



ert 

 cai 



al 





Ta 



erfi 



por 

 ver 



Gi 



fee 



1 



