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well das 

 wie oben 



nden, so 



Beitrag zur Theorie der Elimination. 



13 



ergibt sich pda+ qdb = o, obgleieh sammtliche Variabeln als Functionen von a, A anzusehen sind. 

 1st u die Resultante, so folgt wieder wie oben 



p:q 



du du 



da ' db 



1st das ursprungliche Polynom, mit mehr als zwei Variabeln, theilbar, so ist 

 seine Resultante mit Null identisch. 



Es sei z. B. cp = ff , so wird das System der abgeleiteten Gleichungen 



f d L + f dr__ r *r±f*r_ 



I dx ~ / dx . ° > / dy r T ./ dy 



o, etc 



auch durch die Annalime f = o, f=o befriedigt. Da dies nicht hinreicht, urn eine Relation zwischen den 

 Elementen zu liefern , so muss die Resultante identisch verschwinden. 



Sind nur zwei Variabeln, das Polynom also begreiflich immer theilbar, so seien U 9 u, u 

 resp. die Resultanten der Polynome cp, f; f und V diejenige der Gleichungen 



f—>,f 



o, so ist 



U 



V*uu'. 



Wenn ein urs prungliches Polynom als Aggregat von Producten mehrerer 

 anderer Polynome (kein Theil des Aggregats darf einfach sein) , deren Zahl geringer ist als 

 diejenige der Variabeln, dargestellt werden kann, so vers chwindet sein e Resul- 

 tante identisch. 



Es sei ein homogenes Polynom cp (x , y, z, . . .) = (f, f\ f", . . .), wo nur eine ganze 

 Function, die nicht homogen zu sein braucht, aber kein 



beliebige homogene Polynome der Variabeln x,y, ... bezeichnen, deren Anzahl geringer ist als diejenige 

 dieser urspriinglichen Variabeln, so ist 



inearcs Glied enthalten darf, f, f, f"^ 



dy 

 dx 



d® df_ 

 df dx 



d® df 

 ~df~dx~ 



+ 



9 • 



df 

 dy 



d<& df . d<f> df , 



+ ~*w ~h + • . • ? etc 



df dy 



df dy 



Das System der Gleichungen ^L = , etc. wird durch die Annahme — 



df °> If 



o , etc. befriedigt. 



Da aber diese letzteren Gleichungen nicht hinreichen, urn die Verhaltnisse der Variabeln daraus zu 

 eliminiren, so muss die Resultante von cp verschwinden. 



§. 7. Ist u die Resultante eines Systemes, dessen erste (vollstandige) Gleichung 

 nicht niedriger- ist als die zweite, und denkt man sich diese mit irgend einer 

 Variabeln-Combination multiplicirt, welche sie auf den gleichen Grad mit der 



■ 



ersten erhebt; differ entiirt man ferner die Resultante u nach alien Elementen 

 ersten Ranges und ersetzt ihre Differentiate durch die vermoge jener Multipli- 

 cation homolog gewordenen Elemente zweiten Ranges, so ist das Ergebniss dieser 

 ableitenden Operation mit Null identisch. 



Es sei D die genannte Operation, cp = o , cp t = o die erste und zweite Gleichung des Systemes , t die 

 Variabeln-Combination , durch welche t <p 4 von gleichem Grade mit cp wird. Dann sind , wenn das System 

 erfiillt ist, die Differential-Coeffieienten von u mit den entsprechenden Variabeln-Combinationen in cp pro- 

 portional; folglich Du proportional mit £cp 1# Da nun y t = o ist, so muss Du immer gleichzeitig mit u 

 verschwinden. Weil aber u untheilbar und Du in Beziehung auf die Elemente ersten Ranges urn einen 

 Grad niedriger ist als u > so kann, wenn jetzt wieder alle Elemente des Systemes unter sich unabhangig 

 gedacht werden, Du nicht durch u theilbar sein. Folglich muss Du identisch verschwinden. 



Besteht das System aus linearen Gleichungen ax+by+ . . . 



o 



5 



a ' x-\-b ' y-\- . . . = o etc., so 



kommt das Gesagte auf folgenden bekannten Satz in der Theorie der Determinanten zuriick : 



- 







9 



i 











I 



I 









■ 









1 



A 





i 



n 





t 



1 





. 





. \ 



i 





i 



1 1 



s 



i . 





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