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Schlafll 



Wenn A 



a . b . c . . . 



a . b . c . . . 

 a . o . c . . . 



, so ist a -j — 1-6' 



7 aa ' 



rfA 

 db 



d^ 



+ '£ + ... 



0. 



§. 8. Sind die w Variabeln a?, y, z , . . . eines Systemes selbst wiederum sammtlich 

 homogene Functionen \i iexi Grades der n neuen Variabeln £, u, C. • • • , und bezeichnet $ 

 die Resultante di eser n Functionen^ so dass 0=o durch Elimination der n — 1 Verhaltnisse 

 : i) : C : • . . aus den Gleichungen x=o, y = o, z = o etc. hervorgeht, bezeichnet ferner U die 

 Resultante des urspriinglichen Systemes in x, y,z,... 9 und endlich Q die Resultante 

 des tran sformirten Systemes in £, o, C, • • • 9 so ist 



wo p das Product der Grade aller Gleicbungen des urspriinglichen Systemes 



bezeichnet. 



Be we is. Die Resultante des Systemes der Substitutionen ist in Beziehung auf seine Elemente 



vom Grade n\i 



n— 1 



Wenn m 1 den Grad der ersten Gleichung des urspriinglichen Systemes bezeichnet, so 



ist diese Gleichung, transformirt , in Beziehung auf die neuen Variabeln, auf die Elemente des urspriing- 

 lichen Systemes und auf diejenigen der Substitutionen resp. von den Graden m x \L, 1 , m v Daher ist, wenn 

 man nur diese Gleichungen beriicksichtigt , die Resultante Q des transformirten Systemes in den beiden 

 letzten Beziehungen resp. von den Graden -£- [x n_1 und p |x n ~\ Folglich ist Q in Beziehung auf die Elemente 

 der einzelnen Gleichungen des urspriinglichen Systemes resp. von den Graden 



' ^ , 



m 



p u n_1 



— r ? • • 



in. 



-V- (x n_1 , also von einem [x n_i mal hohern Grade als U, und in Beziehung auf diejenigen der Substitutionen vom 

 Grade np |x n_1 ,also von/? mal hoherm Grade als <I>. Nun sind aber bloss zwei Bedingungs-Gleichungen denkbar, 

 unter denen das transformirte System erfiillt sein kann. Entweder namlich verschwinden nicht sammtliche 



urspriingliche Variabeln x 9 y , z , . . . , und dann muss V = o sein ; oder aber alle diese urspriinglichen 

 Variabeln verschwinden , und dann muss $ = o sein. Daher kann Q keine anderen Factoren als U und <[> 

 haben. Beriicksichtigt man aber die oben ermittelten Gradesverschiedenheiten , so folgt nothwendig 



Q 



Op ip- 



-r,,n— l 



Sind die Substitutionen linear: x ='k^ + uv + 



y = X' £ + (Jt ' v . . . ? etc. so geht in die 



Determinante A = S ± X u! v 



it 



iiber, und wir bekommen Q = A p U. 



Sind dagegen die Gleichungen des urspriinglichen Systemes linear: Xx -j- \iy -f v# + ... = o, 

 X x + \iy -f ... =o, etc. , so geht U in A iiber, und wir bekommen 



Es gelten also folgende zwei speciellen Satze: 



1. Wenn sammtliche Variabeln durch lineare und homogene Substitutionen 

 transformirt werden, so ist die Resultante des neuen Systemes gleich dem Producte 

 der Resultante des urspriinglichen Systemes mit einer Potenz der Determinante 

 der Substitutions-Coefficienten, deren Exponent gleich ist dem Producte der 

 Grade aller Gleichungen des Systemes. 



2. Es seien n homogene Gleichungen m ten Grades mit n Variabeln gegeben , und U sei ihre Resul- 

 tante. Man multiplicire jede Gleichung mit einem beliebigen Factor und addire dann alle zusammen. 

 Man wiederhole dies mehrere Male mit immer andern Reihen von je n Factoren, bis endlich n neue 

 Gleichungen durch Addition entstanden sind. Ihre Resultante sei V und die Determinante der gebrauchten 

 Factoren sei A. Dann ist 



U = b 



m 



u— i 



u. 









der 



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