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Beitrag zur Theorie der Elimination. 



Sind alle Functionen linear , so bekommen wir einen bekannten Satz aus der Determinantentheorie, 

 der schon in §. 1 angeffihrt wurde. 



§. 9. Es sei f (x, y , z , . . .) ein homogenes Polynom m 

 tante der n abgeleiteten Gleichungen JL = o , etc. Man transformire das urspriingliche Polynom mittelst 



linearer Substitutionen x = \x -f- \iy + 



• • 



y = X x -f- \l y ' + • • • ? e tc. 



Coefficienten X, |x, etc. Endlich sei U die Resultante der abgeleiteten Gleichungen des transformirten 



df " 



Polynoms -^ 



J dx' 







dy' 







? • • 



Dann ist 



U 



Beweis. Da die Gleichungen-^ 



o 



df 



o, . . . alle vom (m 



da; 7 dy 



geschehener Transformation der Variabeln ihre Resultante A (m-1)n t/. Es ist nun df 



Grade sind, so ist nach 



ax' ax ay 



+ ^ // -^-+ • • • 9 etc -? folglich die Resultante des Systemes der in Beziehung auf die neuen Variabeln 

 abgeleiteten Gleichungen 



U' = ^(m-l)n-i ^ ^(m 



^m (m-1)"-! TJ^ 



Der Beweis kann iibrigens auch so wie in §. 8 gefiihrt werden. Denn das System der aus dem 

 transformirten Polynom abgeleiteten Gleichungen kann nicht anders bestehen, als entweder, indem das 

 urspriingliche System, ohne dass die urspriinglichen Variabeln verschwinden, besteht, also U=o ist, oder, 

 indem die linearen Substitutionen fur x, y 9 z, . . . verschwinden, was A = o zur Folge hat. Nun sind die 

 Gleichungen des zweiten Systemes in Beziehung auf X, {jt, . . . vom m ten , folglich die Resultante V vom 

 nm(m — l) n - lten Grade; sie hat also den Factor A m ( m - 1 ) n_1 bekommen. 



§. 10. Wird die Resultante eines Systemes algebraischer Gleichungen voll- 

 standig differentiirt und das Differential jedes Elementes durch ein Element 

 gleichen Ranges ersetzt, in welchem die auf irgend zwei bestimmte Variabeln 

 beziiglichen Zeiger um 1 vermindert und um 1 vermehrt sind, und welchem fiber- 

 dies der letztere um 1 vermehrte Zeiger als Factor vorgesetzt ist, so ist das so 

 abgeleitete Polynom mit Null identisch. 



Beweis. Das System sei ^ (x , y, z, . . .) = o [i = 1 , 2, 3, . . . w], seine Resultante E7. 

 transformire mittelst der linearen Substitutionen x = Xx' -\- \iy -f- vz ' + • . . , y = Kx ' + \i y f +• . . . , etc., 

 die Determinante der Substitutions-Coefficienten sei A. Irgend ein Glied der transformirten Gleichung 

 sei, indem man das Element nach Rang und Zeigern bezeichnet, {a, (3, j, . . ,}j x r *y' p #' r . . . [a + P +• T 



+ ... 



diesem konnen alle fibrigen mittelst der Taylor' schen Formel abgeleitet werden. Ffihrt man namlich die 



Ableitungszeichen M 



+ V- 



I d 



+ . . .,N 



^~dT ' r 7F ■ * * * ' 



{a, p, t, . . .}i = 



1 . 2. . .p X 1 .2. . . 7 x 



Vergleicht man die ahnliche Formel fiir {a — 1 , (3-f- 1 9 y , . . .}j , so sieht man, dass 



M {a, p, T ,. ..}i = (P + l). {a— 1, p + l, T ,. ..}, 



ist. Da ferner M A = o ist, so erhellt sogleich, dass das Ergebniss der auf die Resultante A p U = V des 

 transformirten Systemes ausgeubten Operation M mit Null identisch ist. D. h. es ist 



i=n 



2^2 (B 



1). {a 



1,8+1,?,..,}, 



Da diese identische Gleichung keine Spur mehr von der Art der Entstchung der Elemente des trans- 

 formirten Systemes an sich tragt, so gilt sie auch fur das urspriingliche System. 



>-. 



mj. Der Coefficient der h5chsten Potenz von x ist {m i9 o, o , . . .} £ = fi (k, X', X" , . . .) 



dl 



- -\- etc. , etc. ein, so ist z. B. 



M P N T 



~ fiO>> X > X'i • • •)• 



d [a, |3, 7, .. .]i 



t 



