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Beitrag zur Theorie der Elimination 



17 



px + qy + . . . — sw 

 f (x,y 9 . . .) +- hs m w J 

 f{x,y, ...) + A's m W 



o 







o, 



etc. 



Wird das Product mm'm' . . . 



r 



c gesetzt, so bleibt der Grad der Resultante in Beziehung auf die 

 wie vorher, namlich -£-, und die Summe der auf iv bezuglichen 



Zeiger wird tu sein. In irgend einem Gliede der Resultante seien I, a, a', . . . resp. die Exponenten der 

 i?i + . _ s ^ /ls m^ ^ s m^ deren auf ^ beziigliche Zeiger offenbar f , m, m , . . . sind. Dann ist 



Elemente 



X 4- am -\-am + . e . = ~. 



Es sei keiner der ubrigen Grade niedriger als m, so ist 



O 



a 



a 



a 



also : 



u 



i 



. .) m <- - — 





t- . . = * 



A 



Alsoist, wenn wir wiederum das erste System betrachten, der Grad seiner Resultante u, 



in Bez.ehang auf alle Factoren h, H, zusammen, hochstens gleich dem Grade, 



den u in Reziehung auf die Elemente der niedrigsten Gleichung des Systemes 

 e r r e i c h t. Ist m kleiner als alle ubrigen Grade, so kann fur das hochste Glied nur X = a' 



Das hochste Glied ist also dasjenige mit #?-, und die mit dieser Potenz multiplicirte Func- 

 tion der ubrigen Elemente ist die m u Potenz der Resultante des Systemes der n Gleichungen 



7t 



m 



sein. 



px+qy-\- •-. 



f &> V? • • •) 

 f'(x, y 9 . . .) 



etc. 



o 



o 



o, 



m , m , m 



§.13. Es sei u die Resultante eines ursprunglichen Systemes von n Gleichungen zwischen den 

 n Variabeln x,y,z, . . . ; ihre Grade seien resp. m, -m';m' ', . . . Man bilde eine Anzahl v von beliebigen 

 Vanabeln-Combinationen p,q,.-;\ desselben Grades X, und denke sich ein secundares System von v Glei- 

 chungen mit den v Variabeln g, » , C, ... und von den Graden p, tf, ,*", . . . , wo *e Coefficienten erst 

 noch zu bestimmen sind. In diesen vollstandig gedachten Gleichungen setze man fur einen Augenblick 

 p, q, . . . resp. an die Stelle von £, o, . . . , so wird man v Reihen neuer Variabeln-Combinationen erhalten, 

 welche resp. von den Graden X(x,Xft% kft'% . . . sind. Keiner dieser Grade darf den hochsten der Grade 



. . des ursprunglichen Systemes ubertreffen. Man multiplied nun die v Reihen resp. mit 

 beliebigen Combinationen t, f, f, ... der Variabeln x, y, . . . , um sie mit Gleichungen des ursprung- 

 lichen Systemes, deren Rangzahlen a,a,a",... sein mogen, auf denselben Grad zu erheben. Wieder- 

 holungen derselben Rangzahl, und die Einheit (Nullgrad) unter den Combinationen t,f,. . . sind nicht 

 ausgeschlossen. Man nehme dann die Differential-Coefficienten von u nach denjenigen Elementen des 

 ursprunglichen Systemes , welche in Bezug auf Rang und Zeiger den v zuletzt erhaltenen Reihen von 

 Variabeln-Combinationen entsprechen, und setze sie als Coefficienten der Combinationen von g, u, C, . . . , 

 multiplied mit den Permutationszahlen dieser letzteren, ins secundare System hinein. Nach geschehener 

 Elimination der v — 1 Verhaltnisse £ : o : C : . . . habe man U als Resultante dieses zweiten Systemes 



gefunden. Wenn nun [x der niedrigste Grad seiner Gleichungen , ti 



Denkschriften d.mathem.-naturw.Cl. IV. Bd. Abhandl.v. Nichtmitffl 



IX 11 (J. 



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das Product aller Grade, 



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