











I 







IS 



Schlafli. 



und a 



= ji J-JL4- JL.+ . . der Grad der Resultante V in Bezug auf alle Coefficienten des secundaren 



v- i J -' : x " 



Systemes ist, so behaupte ich, 



dass (7dureh u 



H- 



theilbar sei. 



Denn , ware das urspriingliche System erfullt , so waren die Differential-Coefficienten von u mit den 

 entsprechenden Variabeln-Combinationen proportional, und die Gleichungen des secundaren Systemes 

 erhielten die Gestalt 



t(p%+ qv + . ..y = o, t'(pt+(/u + ...y =o, etc., 



waren also erfullt, sobald nur die einzige Gleichung p£+ (/u+ . .. = o erfullt ist. Die Resultante U 

 wttrde daher schon von selbst verschwinden. Dadurch ist erne Potenz von u als Theiler von U angezeigt. 

 Urn nun den Exponenten dieser Potenz von u zu finden, denken wir uns sammtliche Grossen des ursprung- 

 lichen Systemes urn verschwindende Incremente erster Ordnung von den das System befriedigenden 

 Werthen verschieden , so dass aucli u zu einer Grosse erster Ordnung wird. Dann werden auch die 

 Differential-Coefficienten von u nur urn Grossen erster Ordnung von der Proportionality mit jenen Varibeln- 

 Combinationen abweichen ; und das secundare System wird sein 



tip 



r/u + 



Hj>Z + q» 



etc. , 



o 

 o 



wo cp , cp' , . . . Polynome vom \i Un , |x /ten 



, . . . Grade bezeichnen, deren Coefficienten verschwindende 



Grossen erster Ordnung sind. Wenn nun (x nicht grosser als irgend einer der ubrigen Grade \i 



ft 



• • 



und 



TC 



ixa |x 



ft 



. . . ist, so ist nach §.12 die grosste Dimension, welche die Resultante V in Beziehung 



Da aber U in Beziehung auf alle Coefficienten des 



auf die endlichen Grossen t, t , . . . haben kann 



Systemes zusammen vom Grade a 



71 



H- 



7 ^ w 



4- _^_ + . . . ist, so folgt, dass U in Beziehung auf die verschwin- 



denden Grossen erster Ordnung vom Grade a 



K 



sein muss, d. h. U ist von derselben Ordnung mit 



71: 



u 



? 



woraus sofort — wegen der Untlieilbarkeit von u — die Richtigkeit unserer Behauptung erhellt. — Noch 

 hohere Theilbarkeit oder identisches Verschwinden von U sind naturlich nicht ausgeschlossen. Wir wollen 

 Falle, wo das letztere geschieht, noch naher bezeichnen. Es sei -£- der Grad von u in Beziehung auf die 

 ursprunglichen Elemente ersten Ranges, |x /9 |x //9 . . . die Grade derjenigen Gleichungen des secundaren 

 Systemes, in denen Differential-Coefficienten von u jenes ersten Ranges als Elemente auftreten, 



+ ... der Grad von U in Beziehung auf sammtliche Differential-Coefficienten ersten 



P 



K 



+ 



K 



Ranges, endlich \i der Grad der niedrigsten Gleichung des secundaren Systemes, so ist -£ 



7T 



m a 



p der Grad 



des Quotienten U : u 



die Unterscliiede -^- — 



a — 71 : [X 



P 



in Beziehung auf die ursprunglichen Elemente ersten Ranges. Dasselbe seien 



p" , . . . in Beziehung auf den zweiten , dritten , . . . Rang. Wird 



n" u. 



nun einer dieser Unterscliiede negativ, so muss J/identisch verschwinden. Ist sogar die Summe aller dieser 



a negativ , so muss a fortiori U verschwinden , (s bezeichnet den Grad der Resul- 



Unterschiede s — 



tante u in Beziehung auf ihre sammtlichen Elemente); noch mehr, wenn 



s. 



Besteht das ursprungliche System aus lauter linearen Gleichungen , so muss im secundaren Systeme 



-__ _ — ■ - A A * 



X 



Jl = l* 



/ 



1 sein. Dann ist a 



v 



und daher U durch w v_1 theilbar. Der Quotient der Division 



ist uns aus der Determinantentheorie bekannt. Werden namlich im Schema einer Determinante A vom 

 n teB Grade v beliebige Verticalzeilen mit $ , u , . . . und ebenfalls v Horizontalzeilen mit den Rangzahlen 

 a, a, a", . . . (Wiederholungen derselben Rangzahl seien jetzt ausgeschlossen) bezeichnet, und in die 

 Kreuzungspunkte beider Arten von bezeichneten Zeilen die betreffenden reciproken Elemente gesetzt, so 





ist 



lint 

 ant 

 Pel 



fin 



nan 





The 





lie 



tlie 



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WO! 



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'9 i 1 



gTlip 



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so wi 













