■ 



>. 





ren 



den 

 mes 



itel/ 

 fieigt. 



»* 



nm&v 



5^ta 



fie 

 aribeln- 



indende 



i\ 



• • i 



ziehunir 



5 



iten des 

 schill- 

 ing mit 



-Nocli 

 it wollen 



i auf die 



ami 



& ersten 



der Grad 



lbe seien 

 f, Wird 



dieser 



er 



r 



Division 

 ivoin 



;e 



igzahlen 



d in die 

 setzt, so 





Beitrag zur Theorie der Elimination. 



19 



ist ihre Determinante gleich dem Producte von A V ~ J mit der Determinante der im Schema nach Streichung 

 aller bezeichneten Zeilen iibrig bleibenden ursprunglichen Elemente. 



Werden das urspriingliehe System und seine Resultante u durch ein einziges ursprfingliches Polynom f 

 und die Resultante seiner abgeleiteten Gleichungen ^ = o, etc, ersetzt , so gilt der obige allgemeine Satz 

 auch hier fur die Resultante U eines secundaren Systemes , worm die Differential-Coefficienten von u , mit 

 Permutationszahlen multiplicirt , als Elemente erscheinen. Man kann auch das secundare System durch 

 ein einziges Polynom und seine abgeleiteten Gleichungen ersetzen. Da der Beweis mit dem vorigen 

 zusammenfallt, so brauchen wir hierbei nicht zu verweilen. 



Wir behandeln in den folgenden §§. zunachst einen Fall, wo wir den Ouotienten angeben konnen, 

 namlich den. wo die Rangzahlen a, a', a", . . . alle gleich und die Gleichungen des secundaren Systemes 

 sammtlich linear sind, dann solche specielle Falle, wo eine hohere Theilbarkeit namentlich durch u^ statt- 

 findet, und zeigen endlich an anderen Fallen durch directe Rechnung, dass wir im Allgemeinen keine hohere 

 Theilbarkeit erwarten diirfen. 



. 14. Es seien vv aquidistante Differential-Coefficienten der Resultante u, sammt- 

 lich von gleichem Range, in ein Quadrat geordnet, so istihre Determinante durch vT 1 



Sie wird mit Null identisch, wenn v den Grad von u in Beziehung auf die 

 ursprunglichen E lemente jenes Ranges ubersteigt. 



Wenn die Coefficienten der ursprunglichen Gleichung f (x , y , . . .) = o jenes genannten Ranges 

 bloss durch ihre Zeiger bezeichnet werden , so moge der Differential-Coefficient 



theilbar. 



du 



wo a 



-n + p + e + T + x + . . . 



d {a + vj, /3 + 0, 7 + /.,... 



m sein muss , zuerst durch Variation der Gruppe a, (3 , y 



• • 



erne 



Reihe von v Gliedern.liefern; dann mogen durch Variation der Gruppe 73, 6, x, . . . eine Anzahl v solcher 

 Reihen entstehen. Die Determinante der so erhaltenen vv aquidistanten Differential-Coefficienten 

 heisse Q. Das Product der Grade aller iibrigen Gleichungen des Systemes sei [x , und x\ : y l : . . . ; 



x 2 \ y 2 \ 



Wurzelgrupp 



/"(I), fWf.f 



Werthe des Polynoms f{x, y, . . .). Dann ist 



u 



und 



/"(I). /"C2). 



• • 



fto, 



du 



,-n -.0 



rf{a + ij,p+6, 



} 



u 



x [ Vt 



• • 



/"(I) 



of yl 



x % y 



6 



• • • 



A 2 ) 



x a yP 



• • 



•>••«, « 



u {p i X i + p 2 X 2 



• • 



wo 



• +PV.X*] , 



P 



x % y Q z x . . . 



m — m — r ^^^^^— 



, X = x a y^z' ( . . . 



9 . . . 



gesetzt wurde. Wenn nun die Gruppe a , (3 , T , . . . variirt, so moge X in F, Z , . . . , und wenn 73, q, 3 

 variiren, so moge p in q, r, . . . iibergehen. Nehmen wir der kurzeren Darstellung wegen v = 3 an, 

 so wird 



Q 



u 3 . 



IpX.ZpY. IpZ 

 ZqX.ZqY . 2r/Z 

 2rX. 2rF .ZrZ 



u 3 . 



Pi 



■ <li 



• r, 



p 2 , 



• 





. r 2 



/v 



•9V 



• 



■r. 





-^|X • *\L * ^\L 



''P 















1 







1 1 



y 



• 3' 



^ 





' V 



1 





' 



t 







' 







I L 





I 



I 



**M 



I: 



1 



I 











ft,'* 



■ 



