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Beitrag zur Theorie der Elimination. 



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Das secundare System bestehe nun aus v — 1 linearen und einer Gleichung (x ten Grades mit den 

 v Variabeln £, u, C, . ♦ . Als Coefficienten der linearen Gleichungen nehme man die auf die v ersten Elemente 

 a, b, . . . der v — 1 ersten ursprunglichen Gleichungen bezuglichen Differential-Coefficienten von w, und als 

 Coefficienten der hoheren Gleichung solcbe Differential-Coefficienten letzten Ranges , welche der aus den 

 v ersten Variabeln x, y, ♦ . . gebildeten Reihe von Combinationen (x ten Grades , multiplicirt mit irgend einer 

 Combination (m — [x) ten Grades aus den n Variabeln x, y, ♦ . . v, w, • * . entsprechen, und gebe denselben 

 noch die Permutationszahlen der betreffenden Combinationen von £ , u , C 9 • . . 

 Dann wird das secundare System in folgender Gestalt erscheinen : 



zu numerischen Faetoren. 



(a) £ + (&)o + (c)C + .. . 







T 01) 6+ (£)«+ (C)C 



~r 



^ 



o 



wo in der letzten Gleichung T irgend eine Combination (m — |x) ten Grades der Grossen {A) , (Z?) , 



,(J5D. 



Die Resultante dieses Systemes ist 



(A) . (5) . ( C) 

 (a) . (6) . (c) 



O') . (6') . (O 



• • 



[A 



rp ^(v-l)tx 



y t .h r . . 

 9*rK 



v- 



T 



O-i) i* 



^ 



(v-l> 



m 



#, 



. A y . . 



#,/ •*,/•• 



Hier findet wirklich hohere Theilbarkeit Statt. Denn nach dem allgemeinen Satze in §. 13 ware bloss eine 

 Theilbarkeit durch w (v-2)fX + 1 zu erwarten. Bezeichnet a den Grad von £7 in Reziehung auf ihre expliciten 



Elemente, so ist o 



(v 



1) (x + 1 ? a l so U durcb w a 1 theilbar, anstatt bloss durch 



u 



v- 



Stimmt das secundare System genau mit dem ursprunglichen uberein , indem v = n , [x = m wird, 



so ist 



<7=Br) 



(n— l)m 



§. 17. Besteht das urspriingliche System aus den abgeleiteten Gleichungen eines Polynoms 

 f(x 9 y, z, . ♦ .) mit n Variabeln und vom m ien Grade, und werden die Differential-Coefficienten von u, 

 multiplicirt mit den betreffenden Permutationszahlen , fur die einfachen Elemente in der Function u substi- 

 tuirt, so ist nach §."13 das Ergebniss U durch die {n — 1) (m — l) n_lte Potenz von u theilbar. Wir wollen 

 im Folgenden die drei besonderen Falle , wo n = 2, m = 3 , wo n = 2, m = 4 , und endlich wo n = 3, 

 m = 3 ist , in Beziehung auf hohere Theilbarkeit untersuchen. 



I. Das urspriingliche Polynom sei ax s + 3bx 2 y + 3cxy 2 + dy s . Seine Resultante ist u = k{bd — c 2 ) 

 (ac — f, 2 ) — (b c — ad) 2 . Setzen wir der Kiirze wegen bd — c 2 = a, be — ad=$, ac — 6 2 = y , so dass 

 u= 4a y — (3 2 wird, so haben wir 



l / d u 



9 



da 



A=2ca + d$, ' 



6 



du 



B 



d-i-ba, % du 



dc 



c 



aa 



n, V: 



du 

 Td 



D = 2bi + a$, 



und hieraus nach einigen Reductionen 



BD — C 2 = tu, BC—AD 



$u, AC—B 



au 



Also hat das secundare Polynom 



du 



da 



a , du 2 . du 2 . du 3 



db 



dc 



dd 



die Resultante 



U = Uu s . 







=5*-.. 







A 



•i. 









i 







1 



■ m 



II 



n\ 



. 



i :! 







I- 





' - 







i 





i 





A .^ S 1'^t 



> ..* .-• -'. I". 



