





, 











2k 



Schlafli. 



Die allgemeine Kegel gibt bloss den Divisor u 2 . Es findet also in diesem Falle eine hohere Theil- 



barkeit statt. 



Diese Formel wird von Cayley in Crelle XXIX, S. 54, erwahnt und Eisenstein zugeschrieben. 

 II. Das urspriingliche Polynom sei 



ax* + bbx*y + 6cx 2 y 2 + kdxy*+ey* . 



Die Resultante u desselben ist von Cayley (Crelle XXX, S. 19) in einer sehr merkwiirdigen Form 

 gegeben worden. leh gelange auf folgendem Wege dazu. Eliminirt man aus den abgeleiteten Glei- 

 chungen 



ax* + 3bx 2 y + 3cxy 2 + dy 

 bx 3 + 3cx*y + 3dxy 2 +ey 



o 



o 



a) 



resp. x 3 und y 3 , so erhalt man 



3(ac— b*)x 2 + (ae — bd)y 

 (ae—bd)x 2 + 3(ce—d°)y 



3 {ad — be) yz , 

 3 {be — cd) yz. 



Multiplicirt man diese zwei Gleichungen mit einander und beachtet die identisclie Relation 



(ac — b*) (ce — dr) — (ad— be) (be — cd) + (ae—bd) (bd — c 2 ) = o 

 so findet man die resultirende Gleichung durch ae — bd theilbar und bekommt: 



oder 



Da nun 



3(ac — b*)x* + (ae — bd)x 2 y 2 + 3(ce — d?)y* =§(bd — e 2 )x 2 y 

 3c(ax" + 2ex 2 y+ey") — 3{bx 2 + dy 2 ) 2 +(ae~kbd+3c 2 )x 2 y 2 



o 



ist, so folgt 



ax* + 2cx 2 y 2 -\-ey 



kxy (b x 2 -\- ex y -\- dy) 



i 



und, wenn man 



(bx 2 + 2cxy + dy 2 ) 2 + i / 3 (ae — bbd+3c 2 )x 2 y 2 = o, 



ae — kbd+3c 



3p 



setzt und die Gleichung in Factoren zerlegt , 



b x 2 + (2c — p)xy-\-dy 2 = o. 

 Combinirt man diese Gleichung mit den Gleichungen (1), so erhalt man leicht das System 



ax 



+ 2bxy+(c + p)y 



dy 



(_c + p)x 



bx 2 + (2c — p)xy + 



2 



+ 2dxy + 



ey 



o 

 o 







und indem man hier x % , 2xy,y 2 wie unabhangige Grossen behandelt und eliminirt, 



a 



. b 



. c 



b , 



> c . 



d 



c . 



d . 



e 



9 



o 



Macht man diese Gleichung rational , so erhalt man die gesuchte Resultante 



u 



27 



a . b . c 

 b . c . d 

 c . d . e 



2 



(ae—kbd+3c 2 ) 



ffrf 



Dieft 



wi 



anstatt 



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 II 



I 



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4 





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