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Beitrag zur Theorie der Elimination. 



25 



Um abzukiirzen , setzen wir 



A 



a.b , c 

 b .c.d 

 cd. e 



J 



, die reciproken Elemente a . (3 . y , 



4 



T 



Werden nun 



du 

 da 



i 



du 



du 



db 



dc 



, V* 



du 

 dd 



ae 



du 

 de 



1 



8 .£ 



mit 3 dividirt, so erhalt man folgendes Schema 



18aA — eJ 



9£A + tfJ 2 .(6 T +3 ? )A- c J 



9pA + rfJ 2 .(6 T +3?)A — cJ % 



(6y + 3?)A -cJ 



9SA + &J 2 . 



98A + 5J 5 

 18eA — aJ 



Die reciproken Elemente sind mit Weglassung des Factors u : 



3aA 



sJ. 66A + 8J,3cA— Y J 

 6 6A +8 J. 12c A — ?J.6rfA + pJ 

 3cA — T J. 6rfA4 p./.3eA — aJ 



Die Determinante des ersten Schemas ist 2 « 2 A , die mit 



f *Y analoge Grosse ist — uj'. Wenn man 



nun wieder den weggelassenen Factor 3 hinzunimmt, so erhalt man durch Substitution von 4? 

 anstatt a, b, ... in der Function u, als Resultante des secundaren Systemes 



u 



4 



db 



• • 



U= 729m 3 (108m A 2 + J 6 ) = 729 w s (54 A 



3\2 



J 3 ) 



Der Satz in §.13 gibt aber auch schon eine Theilbarkeit durch u\ Wir sehen nur noch, dass der Quotient 

 ein Quadrat ist und sich bloss mittelst A und J ausdriicken lasst. 



III. Wir wollen endlich den Fall eines kubischen Polynoms mit drei Variabeln betrachten. Durch 

 lineare Substitutionen kann dasselbe im Allgemeinen auf die Form 



x' 



y 



Z' 



Sax 



yz 



I 



i < 



i 





.. 





II 



T 



-■ 



r. 



\ 











gebraeht werden. Die abgeleiteten Gleichungen sind 



x 



ayz 



o 



5 



y 



2 



axz 



0, z 



axy 



o . 



Die vier Wurzelgruppen des Systemes der beiden letzten sind 1 : o : o, 1 : a : a, 1 : id : t*a, 1 : i % a : *a, 

 wo i , i 2 die imaginaren Kubikwurzeln der positiven Einheit bezeichnen. Werden nun im ersten abgeleiteten 

 Polynom die Wurzeln dieser vier Gruppen substituirt , so gibt die erste Substitution 1 , und jede der drei 

 folgenden 1 — a 3 . Folglich ist die Resultante (1 — 



a 3 ) 3 . 



ft 



wird in Beziehung auf diese vom 12. Grade sein. Es sei ferner 



x=\x-\-\l y + vjzr , 

 *=X"a?+|i"y+v"* , 



x 3 + y'* + z fS -3ax'yz'=f(x, y,z), 



(1) 



und A die Determinante der Elemente der linearen Substitutionen. Dann ist nach §. 9 



u 



A 12 (1 



3-\3 



ay. (2) 



Sind /, m, n, I' , . . . die reciproken Elemente von A ? so ist kx = lx' + my -^-nz\ etc, 



f(l, m , ri) = f{l' 9 m', »') = f(l", m", m") = A 3 , (3) 



Denkschriften d. mathem.-naturw. CI. IV. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgl. 



i 



) 



, - 



i i 







i 



4 









ii\ 



\ 





: 









^ 





j 



1 it M 



v 



y 



1 



v 



i 



.*' 



