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Beitrag zur Theorie der Elimination. 



f V/ 



b"8 



d/ 



// 



3 



also 



3/ 



+ dm" 



3 



dm 



An 



a 



d 



dn ' 



6 b" Q = (d /" .§'/•, + d u»" . 8'/; + d n" . 8'/-.) (/, m, n). 



Um hier die rechte Seite zu reduciren, miissen wir die Gleiehungen (6) mit I', tri, n multipliciren un 



addiren. Wir erhalten 



Also ist 



8' f x {I, m, n) 



8' £ (I, m, ri) 



3 a X" A 2 , 



3<xfi"A% 

 3 a v" A 2 . 



6b"0 



3 a A 2 (X" d f + ft"d to" + v" d n") 



'3 



a(p' + p") 



wegen (7). Da durch Vertauschung von Accenten nicht geandert wird, so ist ebenso 



QbQ 



aber 3 = b + b' -+-&"$ a l so endlich 



a(p 



/3 



r ) , e v o 



« (p 3 + p" 3 ) ; 



6dQ 



2a(p 3 + p 



/3 



P )» 



6d0 = 6pp'p" — 2 a (p 3 + p' 3 + p" 3 ) 



Die Gleichung (4) gibt also jetzt mit Beiziehung von (8) 



A 3 da 



2ppy_y 3 a(p 3 +p' 3 +p" 3 ) 



Durch diese Formel und (8) sind wir endlich in Stand gesetzt, die Gleichung (2) vollstandig zu differen- 

 tiiren. Es ergibt sich 



df/ = A 9 (l— a 3 ) 2 {(4-a 3 )(p 3 + p /3 + p- 3 )+18a 2 pp>^. 



Da das secundare Polynom auf der rechten Seite in der bekannten reducirten Form erscheint, so 

 konnen wir mittelst des §. 9 seine Resultante U ohne Miihe angeben. Es ist 



.6)3 



V = u s . A 36 (4 — a 3 ) 3 { (4 — a 3 ) 3 + 21 6 a 6 } 



^ # A 36 {(4 — a 3 )(4 — s 3 a 3 )(4 — s /3 a 3 )(4— s //3 a 3 )} 3 , 



wo die Wurzeln der Gleichung O+l) 3 — 2 = o durch e/ s' ? e" bezeichnet sind. Es gibt also keine hohere 

 Theilbarkeit, als bereits aus §.13 folgt. 



§.18. C a y 1 e y in seinem Memoire sur les Hyperdeterminants (Crelle XXX, S. 1) betrachtet Polynome $ 

 von der Form ax t x 2 + bx x y 2 J rcy i x 2 + dy t y 2 , die inBeziehungaufalle^Variabelneinerjedender mGruppen 



Xi , i/i 



• • • "W-I , x 2 ) y 2 5 . • • , w 2 5 • • • 



; # m 9 Vm > • • • w m homogen und linear sind, und spricht unter anderm 

 auch von der Resultante U aller abgeleiteten Gleiehungen eines solchen Polynoms. Es ist klar, dass wenn 

 immer die gleichnamigen Variabeln aller Gruppen einander gleich gesetzt , und daher die unterscheidenden 

 Zeiger weggelassen werden, das Polynom $ in ein gewohnliches vollstandiges homogenes Polynom 



ft 



Es ist ferner klar , dass , wenn in die Coefficienten aller 



Variabelnproducte , die sich nur durch Permutation der auf die m verschiedenen Variabelngruppen beziig- 

 lichen Zeiger unterscheiden , einander gleich gesetzt werden , dann alle auf gleichnamige Variabeln beziig- 



lichen Differential-Coefficienten, wie — , - 



7 dx± J d 



• • 



x% 



dXm 



, in einen und denselben 



fruheren mn abgeleiteten Gleiehungen werden dann auf die n Gleiehungen 



m 



4^ uber^ehen. 



dx " 



1 df 



m dx 



o 



1 df 

 m dy 



o 



• • 



1 df 

 m dw 



o 





i 





i 



- 





•- 





rl 









i 





