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Schlafli. 



zuruckkommen ; und wenn die Resultante u dieser letztern verschwindet, so wird audi gleiclizeitig die dutch 

 die obigen Annahmen modificirte Resultante U verschwinden miissen. D. h., wenn in f/immer alle Elemente, 

 die sich nur durch die auf die m Variabelngruppen bezuglichen Zeiger untefscheiden, einander glcich gesetzt 

 werden — der von Cayley sogenannte symmetrischeFall — so wird u als Factor von (/erscheinen. 



Nun scheint aber Cayley auf S. 18 vorauszusetzen , dass die dem allgemeinen Fall entsprechende 

 Resultante U durch die den symmetrischen Fall bewirkenden Annahmen audi geradezu in die diesem Falle 

 entsprechende Resultante u ubergefuhrt werde , mit anderen Worten , dass U und u in Reziehung auf ihre 

 Elemente von demselben Grade seien. Dies ist aber namentlich in dem dort betrachteten Falle, wo n = 2. 

 m == k ist, keineswegs richtig. Sondern 17 und u sind dann resp. vom 24. und 6. Grade, wie sich aus der 

 nun folgenden allgemeinen Untersuchung ergeben wird. 



Wir sehen zuerst im urspriinglichen Polynome <D die Variabeln a? 1? y l9 . . . w i der ersten Gruppe als 

 constant an. Sein Grad ist dann nur m — 1, und seine Coefficienten sind lineare Functionen von x i9 y„ . . . w { . 

 Die Resultante der (m — 1) n Gleichungen 



rfO 



rfO 



rf<D 



\ 



dx 



o 



' dy> 



o 



• • 



dw 



o 



etc. 



a) 



tf<i> 



dx 



o, 



d<\> 



d<t> 



m 



dy 



o 



• • 



in 



dw 



o 



m 



; 



sei Fund in Reziehung auf ihre Elemente vom Grade/;. Ist dann die Gleicbung V=o erfiillt, so sind 

 die in Reziehung auf die Elemente genommenen Differential-Coefficienten von V mit den betreffenden 

 Variabeln-Producten in $ proportional. Retrachten wir nun wiederum diese Elemente als lineare Func- 

 tionen der Variabeln x x , y iy . . . w t und ersetzen in den in Reziehung auf diese Variabeln der ersten 

 Schichte abgeleiteten Functionen von die Producte der iibrigen Variabeln durch jene mit ihnen propor- 

 tionalen Differential-Coefficienten von F, so ergibt sich offenbar 



rfO 



rfO 



rfO 



dXi 



dy 



i 



dw x 



dV 

 dx x 



dV 

 dyi 



dV 



dw x 



wenn anders das System der Gleichungen (1) erfullt ist. Wenn nun jenem Systeme noch die Gleichungen 



rfO 



rfO 



rf<D 



dx t 



o 



' d V 



o 



i 



dw x 



o 



zugesetzt werden, so kommt das System aller mn abgeleiteten Gleichungen auf dasjenige der a Gleichungen 



dV 

 dx ± 



o 



dV 

 ' dyi 



o 



dV 



dw x 



o 



zuriick. Die Resultante U dieser Gleichungen ist in Reziehung auf die zusammengesetzten Factoren, mit 

 denen die Combinationen der Variabeln x { , y x , . . . w v im Polynome V multiplicirt sind , vom Grade 



■ 



n (p — l) u_1 , und da jene Factoren in Reziehung auf die einfachen Elemente von vom p teu Grade sind, 

 so ist t/in Reziehung auf diese vom Grade np(p — l) n_1 . Wir miissen indessen aus sogleich anzubringen- 

 den Griinden daran zweifeln , dass die so bestimmte Function U wirklich ganz im Allgemeinen die echte 

 Resultante des vielschichtig linearen Polynoms $ sei. Nur fiir n = 2 , m = 4 sind wir sicher . dass das 

 beschriebene Verfahren zur Kenntniss der echten Resultante fuhrt. 



Rezeichnen wir den Grad der nach dem obigen Verfahren bestimmten Function U* welcher mSchichten 

 von n Variabeln entspricht, mit f(m), so bekommen wir die Recursions-Gleichung 



f{m) 



n 



/•(m-l).[/(m-l)-l] 



n— 1 



so ff' 









die si 



