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Beitrag zur Theorie der Elimination. 



Nehmen wir jetzt zuerst m = 2 an, und setzen 



+ (2,t) y x x % + (2,2) m y 2 + . . . + (2,n) y 4 m 



+ (w, 1) w?iar 2 + (w?2) i^i3/ 2 + • • • + (w,w) w?t w 2 , 



so werden die 2w abgeleiteten Gleichungen 



(1,1) #2 +{1&&+. • .+ (1*)*: 



(2,1)^ + (2,2)3/2 + . . . + (2,») u>, 





(1,l)a? 4 -h(2,l) yi + . . . + (»,l)u>i 

 (1,2)^ + (2,2)y 4 + . . . + «2M 



(M)#2 + (w,2)y a + . . . + (n,ri) 



w. 



o 



(1 ,n) x t + (2,^)^ + . . . + (w,n) w?i 



und von beiden Gruppen von je n Gleichungen gibt jede dieselbe Resultante, die Determinante aller 

 nn Elemente des urspriinglichen Polynoms 0. Wir haben also 



A3) 



/(2) 



n— 1 



n 



n (n — 1) 

 n 8 (n— 1)— 4 (n 2 (» 



1) 



n— 1 



1)-V, 



etc. 



Setzen wir w = 2, so bekommen wir 



/•(2) = 2, /-(3)=i, /*(4)=24, / , (5)-1104, f(6) = 2435424, etc 



Wenn w sehr gross ist, so ist annahernd 



f(m) = n n ™- 2 



Fiir ein vollstandiges Polynom m ten Grades mit mn Variabeln ist der Grad der Resultante aller seiner 



abgeleiteten Gleichungen 



mn(ni — 1) 



m n — i 



Fiir m^ 3 wird diese Zahl beim steten Wachsen von n sehr bald von der vorhin fur f(m) naherungs- 



weise angegebenen Zahl weit ubertroffen. Setzen wir z. B. m — 3 , n 



tante der aus einem vollstandigen Polynom dritten Grades mit dreissig Variabeln abgeleiteten Gleichungen 



30-2 



29 



16106127360. 



Dagegen ist fiir ein dreischichtig lineares Polynom $ mit je zehn Variabeln in jeder Schichte dei 

 Grad der durch obiges Verfahren gefundenen Function U 



100-9 9 = 38742048900. 



In der Function U ist also die wahre Resultante noch mit einem fremden Factor multiplicirt. 

 die specielle Beschaffenheit des Polynoms $, vermoge welcher sehr viele Coefficienten des vollstandiges 

 Polynoms vom selben Grade und von derselben An zahl von Variabeln als Null geworden anzusehen sind, 

 kann den fiir dieses letztere Statt findenden Grad der Resultante nicht erhohen, sondern wird ihn, wenn 

 eine Aenderung geschieht , weit eher erniedrigen. So einfach daher auch das obige Verfahren scheinen 

 mag , und so schwer es auch ist , den fremden Factor anzugeben , der durch dasselbe eingefiihrt wird , so 

 ist doch sicher , dass es uns im Allgemeinen nicht zur Kenntniss der echten Resultante eines vielschichtig 

 linearen Polynoms fiihren kann. 



§. 19. Besondere Betrachtung des Falles, wo m = 4 



n 



-2 ist. 



1 , so ist der Grad der Resul- 





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