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Beitrag zur Theorie der Elimination. 



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Be we is. Versieht man im Product abed... auf alle mogliehen Arten je m Factoren mit Accenten 

 und multiplicirt das Aggregat mit 1 . 2 . 3 . . . m, so hat man D m (abcd . . .). Dasselbe gilt von D n-m 

 (efgh . . .). Wir erhalten so eine Vorstellung von der entwiekelten linken Seite. Denken wir uns nun 

 auch rechts die Entwickelung des unter das Summenzeichen gesetzten Productes, so werden darin Glieder 

 vorkommen, wo je m der Grossen a, b , c, d, . . . accentuirt und die iibrigen n — m nieht accentuirt sind. 

 Jede der accentuirten bringt ein Minuszeichen mit sich. Das Vorzeichen wird also ( — l) m . Sind ferner 

 z. B. a , b' accentuirt, so nehmen sie die nicht accentuirten e, /"als Factoren mit, wahrend die iibrigen 

 nicht accentuirten c, rf, . . . die accentuirten d , A% . . . als Factoren mitnehmen. Nun sind #, f g\ //, . . . 

 vollstandig zu permutiren, so werden je 1.2.3...mXl*2-3...(ft — rri) gleicbe Producte 

 entstehen (wenn namlich das Schema der m Mchtaccente und der n — m Accente fest steht, und nur die 

 darunter fallenden Buchstaben e, jf, g , h , . . . permutirt werden). Man hat also das Glied 



(— l) m l . 2 . 3 . . . mXl • 2 . . . (n — m) Xdb'cd . . . X^efg'h'. . . , 



wo das Summenzeichen 2 sich auf die Permutation der blossen Buchstaben e, f,g, h, . . . bezieht. 

 Vereinigt man alle ahnlichen Glieder, wo je m von den Grossen #, 6, c, d, . . . accentuirt sind, so 

 erhalt man 



(— l) m l . 2 . . .mX^a'Vcd. . . X 1 . 2 . . . (n — m) X^efgh' . . . , 



gerade wie auf der linken Seite. Die aufgestellte Gleichung ist also identisch. 



Bemerkung. Wenn n grosser ist als 2 , so geben auf der rechten Seite alle positiven Permuta- 

 tionen dasselbe Resultat wie alle negativen far sich. Man braucht daher auf der rechten Seite das 

 Summenzeichen nur auf alle positiven Permutationen auszudehnen , wenn man gleichzeitig die linke Seite 



halbirt. 



Denn der Unterschied zwischen dem den positiven und dem den negativen Permutationen entspre- 



chenden Aggregat ist offenbar 



ae 



a e . 



af 



a j ♦ ag 



be—be . bf' — b'f. bg f 



ce 



c e . c 



r 



f . eg 



a g . 

 b'g. 

 eg . 



• • 



• • 





e . 



e . 



f 



9 

 9 



• • 







Da die Operation D distributiver Natur ist, so ist leicht einzusehen, was entstehen wird, wenn die 

 Monome abed ... , efgh . . . durch Polynome n ten Grades ersetzt werden. Wenn M, N zwei solche 

 Polynome bezeichnen, so wollen wir fortan der Kiirze wegen 



n — m 



w, n) = s::: ( — i ) m ytm . d^n 



setzen. 



b) Wenn D eine ableitende Operation bezeichnet, wo die Differential e der 

 Variabeln a, b, c, d, e, f in die Constanten a', b\ c' , d , d , f umgesetzt werden, so ist 



(a 6, ed, ef) 



ab . Dab . D 2 ab 

 cd.Dcd.D 2 cd 

 ef.Def.Wef 



2{(ef—cf)(eb'—eb)(a<X—dd) + '(dd—d'e)(fd—fa)Cbe—b'e)}, 



im Ganzen vier identische Formen , von denen die drei iibrigen sich durch Permutation beider Factoren 

 je eines der Producte ab, cd, ef ergeben. Durch die Entwickelung beider Seiten dieser Formel wird 



man sich von ihrer Identitat iiberzeugen. 



Da die Operation D distributiver Natur ist, so konnen die genannten Producte auch durch homogene 

 quadratische Functionen der Variabeln ersetzt werden. Wie dann die Formel sich weiter gestalten wird, 



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