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Beitrag zur Theorie der Elimination. 35 



(a 6) ft A) {(de) + (f c )} — (ac) (fft) {(d e ) + (j b y + ( a e ) (d h) {(a h) + (rfe)} 

 (c«0 W K fflA ) + WS — (ft«0 0#) ((« A) 4- </c)} + (&/") 0</) {(/c) + 0/6)} 



(a e) {dp (dg) — (dh) (a /) (a g) — (/ft) (g «) ty rf) _ ty c ) (/«) (/rf) 

 + (A d) (ec) (e 6) + (e a) (A c) (A ft) -f (eg) (ft A) (ft e) + (ft/) (c A) (c e). 



Wir wissen schon, dass dieser Ausdruek sich nicht andert, wenn man die erste und zweite Schichte, 

 oder wenn man die dritte und vierte mit einander vertauscht. Bezeichnen wir nun die Ausdriicke , welche 

 sich ergeben , wenn man die erste und dritte , und wenn man die zweite und dritte Schichte mit einander 

 vertauscht, resp. mit A y und A //? so ist 



A 



(/"<0 W + (ah) (fc) (g ft) + (ah) (de) (gb) 4- (ah) (de) (f 



Vf) 

 (Sf) 



(Ml 

 (de)} 



ifh) 



n 



(f 



(/"«) } 4- (e f) (c d) { (f e) 

 (dg) — (de) (fa) (fg) 

 )(eb) + (ef)(ch)(cb) 



(de)} 



A 



// 



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it einem 



(de) (fc) (gb) + (ah) (fc) (gb) + (a h) (de)(gb) + (ah) (de) (fc) 



— (ab)(gh) {(fc) + (de)}—(ae) (dh) {(fc) + (gb)} + (ac) (fh) {(ah) + (fc)} 



— (ef)(cd){(ah)+(gb)} — (bf)(cg){(ah) + (de)} + (b d)(eg) {(de) + (gb)} 



— (ac)(fd)(fg)^-(fh)(ad)(ag) — (db)(ga)( g f) — (ge) (da)(df) 

 + (hf)(ce)(cb) + (ca)(he)(hb) + (eg) (bh)(bc) + (bd) (eh) (ec). 



§. 23. Die Summe dieser drei Ausdriicke, W= ^ + ^ / -\- ^ // , ist nach Cayley's Benennung eine 

 vollstandige Hyperdeterminante, eine symmetrische Function der Coefficienten von sowohl 

 in Beziehung auf alle vier Schichten, als auch auf die beiden Variabeln x , y einer jeden Schichte. Diese 



W 



ire durct 



©+© — 3(g— %+2B + 3£ 



so haben 



einer der 



bezeichnet. Urn unsere Formeln an diejenigen Cay ley's anknupfen zu konnen, miissen wir einen Augen- 

 blick auf die dort gegebene kunstreiche und bewundernswerthe Construction von zwei vollstandigen 

 Hyperdeterminanten sechsten Grades der sechzehn Coefficienten eines vierschichtig 



Wir 



linearen Polynoms mit je 

 Coefficienten mit denselben Buchstaben bezeichnet wie dort, und nur die acht Variabeln anders benennt. 

 Wahrend namlich Cay ley die Schichten dnrch Buchstaben (x, y, z, w) und die zusammen gehorigen 

 Variabeln durch Zeiger (1, 2) unterscheidet, haben wir umgckehrt die Schichten durch die Zeiger 1,2,3,4 

 und die Variabeln eines jeden Paares durch die Buchstaben x, y unterschieden. Es wird daher sogleich 

 klar sein, wie es gemeint ist, wenn Cay ley 



a 



(1111) , b = (2 111) , c = (1211) , 



p = (2 2 2 2) 



setzt. Nun sollen nach Cay ley in dem Schema 



1*111 

 1111 

 1111 



2 2 2 2 

 2 2 2 2 

 2 2 2 2 



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