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36 



Schl dfli 



welches in dieser Anordnung das Product cdp % bedeutet, die Elemcnte jeder Verticalzeile auf alle mogliehen 

 Arten permutirt werden, und jede Vertauschung von bloss zwei verschiedenen Elementen mit einem Wechsel 

 des Vorzeicliens des durch das Schema bezeichneten Productes begleitet sein. Da die Ordnung der Hori- 

 zontalzeilen gleichgiiltig ist, so braucht man die Ziffer einer Verticalzeile , z. B. der letzten , nicht zu 

 permutiren. Die so erhaltenen Producte werden nun in Aggregate gesondert, deren Glicder nur theils 

 durch Vertauschung der Schichten (resp. Verticalzeilen) ohne Zeichenwechsel, theils durch die mit einem 

 Zeichenwechsel begleitete Vertauschung der beiden Variabeln einer einzelnen Schichte (alle 1 und 2 einer 

 Verticalzeile werden auf einmal resp. in 2, 1 umgewandelt) aus einander hervorgehen. Man erhalt so 

 folgende acht Aggregate : 



2t = 2«V, 



8 Glieder, 



2 — a 2 p 2 bo, 32 



6 



V rt 2 *i 2 



a~p dm , 



24 



V 



» 



<£)=I>apbocn , 48 



(g = 2 — bocnel, 8 Glieder 



% = 2 ap 2 bgi , 

 ®= 2 ap cfjo, 



$ = 2>p*bcei 9 



96 

 96 

 16 



55 



55 



W 



Die gesuchten Hyperdeterminanten werden nun solche homogene lineare Polynome dieser symmetrischen 

 Aggregate sein, welche unter Anderem der Bedingung 



8 



d . d , , d . . d 



da 



db 



dc 



dh 



o 



geniigen miissen. Wenn nun die folgenden Summen sich nur auf die drei ersten Schritte von a nach 6, c. e, 

 nicht auf den vierten nach i erstrecken, so ist 



3 „3 



21 = I{afp 



h* .-) , 



lap . Zh 2 f — Shi . 2a 2 p 2 , 



<S 



y .,2 „2 



ci>p\dm+fk+ g j)—2h 2 i 2 (_el±cn + bo), 



S= Hap . Hhiel — I hi . Sap dm , 



<g 



dmfkgj — lelcnbo. 



Aus dicscn Formeln folgt 



aiso 



21+ 364-6® = (^ apf— (2" h if , 

 + 2£>=l'ap . (2hiy—Zhi.(Zapy, 



wenn wir fortan 



2l+333 + 36+6£) + 6(g ={2{ap—hi)) 



S 3 , 



ap — hi-\- dm — el+ fk — en + gj — bo = S 



setzen. Man sieht schon aus der Form dieses Polynoms, dass es der Bedingung 8 = genugt 

 Gebrauchen wir folgende einander gleichsam entgegengesetzte Operationszeichen 



D 



8 



. d . • d 

 l lU + J ~db 



d , , d 



+ k 



d 



dc 



di 



dj 



+ C 



d 



dk 



+ 1 



+ d 



d 



dd 

 dl 



-\-m 



d 



de 



+ n 



d 



df 







d 



1 dm ' / dt 



+ ff 



dg 



do 



+ P 



d 



dh 



d 



dp 



so ist 



% 



iZZap X D 2 (a*p* — h 2 f) + 4-D lap X ZH(a 2 p 2 —h 2 i 2 } — 2Iaphi(ap — ih) 

 + 2{ap 2 .Dbce — i~h.Y)dfg + a 2 p . Uno—ih* . Ijkm}, 



% 



* 



Hierbe 



Us Ausdrw 



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;. 24. 



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Es war 



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gesetet wird 



8 * man i 



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