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18S 2 T 



t 



1-3^ 







§. 25. Im symmetrischen Falle ist freilich J 



Beitrag zur Theorie der Elimination. 

 ist. Hiemit ist die Resultante Urn Function der vier Hyperdeterminanten S, W, 2,11, welche resp. 



vom 2., 6., 8. und 12. Grade sind, gegeben. Sie selbst ist vom 24. Grade. An eine Zerlegung in 

 Factoren ist kaum zu glauben. Denn da eine solche in der expliciten Form, wie der Ausdruck vor uns 

 liegt, nieht Statt findet, so konnte eine solche nur vermittelst einer identischen Relation zwischen den 

 vier Functionen S , W, 2,U moglich gemacht werden. Aber hochst wahrscheinlich sind alle diese vier 

 Functionen unter sich unabhangig. 



o, also 2 



o, und daher 



16384 W*(9W 



aber nur 9 W — S* die uns schon aus §. 17, (II), bekannte Resultante eines biquadratischen Polynoms 



mit zwei Variabeln. Aber auch der zum Cubus erhobene Factor hat seine gute Bedeutung. Halten wir 



namlich auch in diesem symmetrischen Falle immer noch die vier Gruppen von je zwei Variabeln aus 

 einander, und setzen 







c iVi V* ^s ^4 + Vi x 2 y 3 Xt + y t x 2 x 3 y^ + x ± y 2 y s x^ + x i y 2 x s y„ + x t x 2 y 3 y 4 ) 



+ d (3/1 2/2 2/3 ^4 + yi y* x z 2/4 + 2/1 x 2 y % 2/4 + #1 y* y 5 yd + ey^sy* > 



so ist 



A = A 



A 



// 



a 



.b 



. c 



b, 



.c . 



d 



c , 



. d . 



. e 



, S = ae— 4ftrf+3c% 



also mit Weglassung des numerischen Factors 



U 



a.b ,c 



6 {27 



a.b .c 



b . c . d 





b .c.d 



c .d. e 





c. d.e 



(ae 



ibd+dc 2 ) 3 } 



6 



0°t 



Verschwindet die Resultante U, so ist 



Xi x 2 x 3 x^ '. 2i y { x 2 x 3 x^ 1 2j y t y 2 x 3 x^ 1 2j y ± y 2 y s x^ 1 y± y 2 y 3 y t 



dU . dU _ dU dU . dV 



da db 



dc 



dd de 



Also sind die vier Verhaltnisse x ± : y t , x 2 : y 2 , x z : y 3 , .r 4 : £/ 4 die Wurzeln der Gleichung 



dU 

 de 



x 



dU 3 , dU o 



x 6 -f- x 2 



dd 



dc 



dU , dU 



-x -f- ■ 



db da 



o 



(a) 



Nehmen wir nun , um die Resultante V verschwinden zu lassen , ^ = an, so verwandelt sich die letzte 

 Gleichung in 







6 C dl __4 



de 



x 



at 31 a* 2 



x -\- x 



dd 



dc 



dt 

 ~db 



x 



dt_ 

 da 







Da uns aber t schon als Resultante des biquadratischen Polynoms in x, y bekannt ist (§. 17, II), so wissen 

 wir auch , dass fur t = o die Grossen — , V* — ? Ve — ? *A 4r 9 4^- e ^ ne geometrische Reihe bilden , und 



schliessen hieraus , dass die vorliegende Gleichung lauter gleiche Wurzeln hat. Also ist x i :y l = x 2 : y 2 

 x s : y s = x^ : ?/ 4 . D. h. diese Losung stimmt mit dem bekannten Fall des biquadratischen Polynoms iiberein. 

 Nehmen wir dagegen d = o an , so reducirt sich jene Gleichung (a) auf 



dd 

 de 



x 



dd 3 i dd 2 



x -j- x 



dd 



dc 



dd , do 



x -\- . 



db da 















i 









■ 



■ 













4 



! 





■ 





* 



. ; 





y 





<■ 1 









