*» H 





SO 



>+!« 



Factors ff 



pj^^j' 



(»•' 



r' + cV 



oder 



bestimmt 



§.27. 



Beitrag zur Theorie der Elimination. 



(Der zweite Factor gibt denselben Werth von t, wenn man auch die Accente weglasst.) Diese Gleichung 

 hat zwei gleiche Wurzeln, und da nun drei Elemente, von denen zwei gleich sind, auf drei Arten permutirt 

 werden konnen, so entsprechen der Gleichung A = o drei Losungen des Systemes. Daher erscheint in der 

 totalen Resultante £7 der Factor A auf der dritten Potenz. — Das Verhaltniss x„ : y„ ist durch die Gleichung 



ax^ + dyt + 2r(bxt + ft'y 4 ) + r 2 {cx^ + cyj =o, 

 bxt, + b f y^ + 2r(ca? 4 + c'j t ) + r 2 (dx^ + d'y^) = o 



Setzen wir endlich in den allgemeinen Formeln b = c, e 



o 



wodurch die Unterschiede zwischen der ersten und zweiten Schichte, und wiederum zwischen der dritten 



und vierten , bei den Coefficienten aufgehoben werden , so wird 







[ax ± x % + b (y { x 2 + x x y 2 ) + dy t y 2 ) x s x^ 

 + (e x\ x 2 + f{y, x 2 + x i y 2 ) + h y x y 2 ) (y 3 x 



x 



+ (m x i x 2 -f n (y t x 2 + x x y 2 ) + pyi y % )y^ y„ . 



S = 2f 2 + ap + dm~2{bn + eh) , J 



o 



J 



i 



J,s 



f+f*(ap + dm+ 2bn-\-2eh) — 2f(ahn~\-den +pbe+ mbh) 

 apdm — (bn — eh) 2 + amh 2 -\- dpe 2 + adn 2 + mpb 2 , 



A 



>, 



SfJ. = A 



A 



// 



a . e . 



m 



b . f . 



n 



d . h . 



p 



9% 



und endlich , abgesehen von einem numerischen Factor , die Resultante 



*7= 6 *{(54e 



s- 



36 S J,) 



(& 



i2J,) 3 }. 



Sie zerfallt somit in vier gleiche Factoren dritten und einen zwolften Grades* Der letzte ist offenbar 

 Resultante des zweisehichtig-quadratischen Polynoms 



{ax 2 +■ 2b xy + dy 2 ) x 2 + 2(ex 2 + 2fxy + hy 2 )xy + {mx 2 + 2nxy + py 2 )y 2 . 

 Ist dagegen der potenzirte Factor Q = o , so wird es vier Grossen a, p ; y, 8 geben, welche den Gleichungen 



a + fta-j- tfp = o 



e + /* a + h p = o 



m + wa-|-/?p = o 



genugen, und die nach £ aufgelosten Gleichungen 



i 



a + ey + w*8 = o 



d -\- h-{ + /?B == 



o 



* 



werden resp. die Verhaltnisse 



ot*-f-p 







* ; 



T *+§ 



o 



yi * und * , * 



X 



- 9 



X 



Xs 



X 



4 



zu Wurzeln haben. Da aber die Wurzeln eines jeden Paares zwei Male permutirt werden konnen, so ent- 

 sprechen der Gleichung Q = o im Ganzen vier Losungen, wesshalb in der totalen Resultante (7 der Factor 9 



auf der vierten Potenz erscheint. 



§.28. Ueber die Classengle i ch ung einer nach Grad freien algebraischen 



einfach bedingten Totalitat. 



j«. 



y 





i i 



1 1 







a ■ > 



\ 



■i 





t 















11 



1 



i * i 













i 





■ 







i 







1 



. 



Xi 



1 



A 



— 



- 





i 



1 



a 



•e. 



i"i 





